习题2.3教学设计模板

平面与平面垂直的判定

——天台育青中学裘晶晶

【教材内容分析】

本节课是高中数学人教A版，必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”第三节“直线、平面垂直的判定及其性质”第2课时.学生在学习这一课之前分别学习了“线面垂直的判定”和“直线和平面所成角”. 面面垂直是垂直关系中的重点，是“转化”思想的又一重要体现.平面与平面垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来度量二面角的大小是一个难点. 【学情分析】

学生在学习这一课之前分别学习了“直线与平面垂直的判定”和“斜线与平面所成角”.利用直线和平面垂直的定义直接判定直线和平面垂直，在实际运用时有困难。于是，结合“平面化”思想与“降维”思想，通过直线与直线垂直判断，形成直线与平面垂直的判定定理.让学生知道在观察操作的基础上做出猜想，然后通过推理论证得出猜想的正确性.斜线与平面所成角与这一节的二面角一起，构成了比较完整的空间角概念，这些概念对于提高学生的空间位置关系的认识，发展学生空间想象能力，起着比较重要的作用.

【教学目标】

1.从日常生活中的两个实例抽象出“二面角”的概念，理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念.（数学抽象、数学建模）

2.在对二面角的平面角探究中，经历实验，观察，归纳，分析，验证等过程，在直观感知、操作确认的基础上学会“类比归纳”思想解决数学问题，获得并掌握研究空间角一般规律和方法.（逻辑推理、直观想象、数学抽象）

3.在对平面与平面垂直判定定理的探究中，经历从现实现象中发现和提出问题，分析和解决问题.（直观想象、数学抽象）

4.掌握度量二面角大小的方法，掌握两个平面垂直的判定定理及简单应用。（数学运算、逻辑推理）

【教学重难点】

重点：平面与平面垂直的判定

难点：度量二面角的大小

【教学方法】

实物观察、类比归纳、语言表达、讲练结合. 【教学过程】

一．课题引入

平面与平面的位置关系有平行和相交，平行我们研究了很多了，今天我们来看相交.两平面相交也各有不同，生活中也有很多实例.如修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度. 师生互动：学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子. 设计意图：在复习所学过的知识的基础上，从实际背景出发，直观感知面与面所成角的有关情形.

二．探索研究

1．二面角的有关概念

（1）半平面

平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

（2）二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

老师引导学生用数学思维思考，并与角进行类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如P下表所示）

Q

角

边 A

顶点 图形

O 边 B 二面角

面 棱ll面从平面内一点出发的两条射定义

线所组成的图形. 构成

射线

—

点（顶点）一

射线

∠AOB 表示

二面角PlQ或二面角PABQ

设计意图：通过比较角与二面角的概念，使学生对二面角有一个清晰的认识. 相关概念：

（3）二面角的画法：

形叫二面角. 半平面

一

线（棱）一

半平面

二面角-l或二面角-AB-

从一条直线出发的两个半平面所组成的图

图1

师生互动：教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）. 2．二面角的平面角

根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验，自然想到用“平面化”的思想，进而给出二面角的平面角的概念.二面角反映了两个平面相交的位置关系. 思考：我们常说“把门开大一些”？是指哪个角大一些？翻书的时候，书的打开程度不同，可以得到不同的二面角.我们应如何度量二面角的大小呢？

在求异面直线所成角的时候，我们将异面直线移成共面.在求斜线与平面所成角的时候，我们用斜线与射影所成的平面角来衡量，这个平面角具有唯一性.我们设想二面角也用一个

平面角来衡量，使∠AOB被二面角l唯一确定. 探究：这个平面角如何选取比较合理？

通过学生实际操作和教师跟拍展示. 思考：这个角的大小与顶点O在棱上的位置有关吗？

通过折纸，得到三个平面角，发现大小相等. 二面角的平面角的定义：

以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度. 二面角的平面角作法：

（1）确定二面角的棱上一点；

（2）经过这点分别在两个面内引射线；

（3）所引的射线都垂直于棱. 例1.在正方体

ABCDA'B'C'D'

中，求出二面角C’-BD-C和二面角C’-BD-A的正切值.

思考：二面角的平面角的取值范围如何？

二面角的平面角的范围是[0,180]，当两个半平面重合时，平面角为0；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 3.平面与平面垂直

面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、结合大量实例，再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程，自然地就获得了面面垂直的判定定理. 平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直. 实际生活中面面垂直的例子，墙面和地面.筑墙工人在筑墙的时候如何保证墙面和地面垂直.用一条铅锤，所筑墙面和铅锤紧贴就可以保证墙面直立于地面. 生活实例：我们每天都生活在真理中，经过门轴的门面不论转到什么位置，都与地面垂直，这种现象能我们以什么启示呢？

平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

图形语言：（将直立平面的竖直边与水平平面的横边垂直）

符号语言：a

a三．应用举例

例2.已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点. 探究：有哪几组平面相互垂直？

求证：平面PAC平面PBC

证明：因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.又由已知BCA为直角，即BCAC.而PA,AC是PAC所在平面内的两条相交直线，所以，BC平面PAC，又BC平面PBC，

所以，平面PAC平面PBC

师生互动：学生通过直观感知，搭建模型，教师通过跟拍，直接在屏幕上反映学生的操作过程.探究完后，让学生写证明过程，拍其中两个学生的作业通过投屏显示纠错.教师板书证明过程. 拓展提升：将这个模型抽象出来就是一个每个面都是三角形的正四面体.结合数学史，引入鳖臑(biē

nào)：《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在2015年高考文科数学湖北卷第20题，就出现了这个词.高考题来源于课本，而又高于课本. 四．小结归纳

本节课我们讲了二面角的概念，二面角平面角的定义.两个平面垂直的定义、画法及判定方法. 判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理，如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键. 五．布置作业

作业本相关练习. 六．板书设计

2.3.2平面与平面垂直的判定

1．空间角

例2

2．二面角

3．二角面的平面角

4．面面垂直的判定定理