第四章 圆与方程（通用）优秀课堂实录

高考第一轮学案：圆的方程

一、知识归纳：

1．圆的方程

（1）圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2

其中圆心为（a，b），半径为r. 特别地，当圆心在原点时，圆的方程为x2y2r2

（2）圆的一般方程：x2y2DxEyF0（*）

D2E2D2E24F将（*）式配方得(x)(y)

224当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（DE1，），半径r=222D2E24F

的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程. 说明：圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：[来源:学科网ZXXK] ①x2、y2项系数相等且不为零.

②没有xy项. 当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（DE，

），

22当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形. 2．二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件

若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件. 上述方程表示圆的充要条件是：

①A=C≠0，

②B=0，

③D2+E2－4AF＞0 二、学习要点：

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；[来源:学.科.网] （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.

三、例题分析：

例1．求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断

点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.

例2．已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示一个圆

（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。

例3．已知点A、B的坐标分别为A(1,0),B(1,4)，动点P满足PA•PB4，点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点。求

(I)求点P的轨迹方程；

(II)求动点Q的轨迹方程.

四、练习题

1．过M(1,1)和N(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是

A．x2(y2)210

B．(x2)2y210[来源:Zxxk.Com] C．x2(y2)210

D．(x2)2y210

2．若曲线x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的图形关于x+y=0对称则

A．DE0

B．DF0

C．EF0

D．DEF0

3．若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是

A．a2或a222

B．a0

C．2a0

D．2a

3334．若圆C与圆(x2)2(y1)21关于原点对称，则圆C的方程是

A．(x2)2(y1)21

B．(x2)2(y1)21

C．(x1)2(y2)21

D．(x1)2(y2)21

5．圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于A(0,4),B(0,2)两点，则圆C的方程是

_____________.

6．若长为2a的线段AB的两个端点分别在轴、轴上滑动，则AB中点的轨迹方程是______.

7．分别求满足下列各条件圆的方程：

（1）以A(4,9)，B(6,3)为直径的圆；

（2）求经过A(1,1)，B(2,2)两点，圆心在直线xy1上的圆的方程。

8．求圆心在直线xy0上，且过两圆x2y22x10y240

与x2y22x2y80

交点的圆的方程。

9．设O为坐标原点，曲线xy2x6y10上有两点P,Q，满足关于直线

22xmy40对称，且OPOQ0.

（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.

10．已知动点A与两个定点O(0,0)，M(3,0)的距离的比为1

2（1）求动点A的轨迹方程；

（2）若点B，C的坐标分别为(2,4)，(4,3)，求ABC的重心G的轨迹方程。

（三）圆的方程参考答案

三、例题分析：

例1．解：因为圆心在直线y=0上，故设圆心坐标为C(a,0)，

由|CA|2|CB|2得

(a1)216(a3)24，则a1，所以C(1,0)

又|CA|2(11)21620，则所求圆的方程为(x1)2y220

因|M1C|(21)2(30)21820，所以M1在圆C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|=(21)2(40)2=25>20，所以M2在圆C外。

例2．解：（1）方程表示圆的充要条件是DE4F0，

2224即4(m3)4(14m)4(16m9)0，化简得：7m6m10

222解得1m1

7

（2）r1D2E24F

7m26m1

7(m3)21647，故0r47

27777xm32（3）设圆心的坐标为(x,y)，则，消去得y4(x3)1

m2y4m1

由于120m1，故x4，则所求的点的轨迹方程是：

7720x4）

y4(x3)21（7例3．解：(I)设P(x,y)，则PAPB1x,y1x,4yx21y24y4

则动点P的轨迹方程是x2(y2)29

(II)由(I)可知动点P的轨迹是以点C(0,2)为圆心、半径r3的圆。

1b2a2'设C(0,2)关于直线y2(x4)的对称点为C(a,b)，则

b2a2(4)22解得a8,b2，即C'(8,2)。

因为点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点，

'故点Q的轨迹是以C(8,2)为圆心，半径r3的圆，

即点Q的轨迹方程为x8y29

22四、练习题

BADA 5.(x2)(y3)5

6．xya

7．解：（略）（1）(x5)(y6)10

（2）(x3)(y2)25

22xy2x2y808．解：解方程组2，得两圆交点A(4,0),B(0,2)，

2xy2x10y240222222222因圆心在直线xy0上，所以设圆心坐标为C(a,a)

22由|AC||BC|，得(a4)(a)a2(a2)2，则a3，所以C(3,3)

22故r|AC|10，则所求圆的方程为(x3)(y3)10

9．解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b. 将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0. Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－32

∴所求的直线方程为yx1.

x2y21|AO|1

，得10.解：（1）设A(x,y)，则由|AM|2(x3)2y22

化简得：x2y22x30，即动点A的轨迹方程为(x1)2y24

（2）设G(x,y)，

A(x0,y0)，则有(x01)2y04

因为是ABC的重心，则x2x024x02y43y07，y0

333322即x03x2,y03y7，故有(3x1)(3y7)4

所以ABC的重心G的轨迹方程为(x)(y)

1327324

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