第四章 圆与方程（通用）特级教师教学实录

第3讲

圆的方程

[最新考纲] 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2．初步了解用代数方法处理几何问题.

知

识

梳

理

1．圆的定义和圆的方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

圆心C(a，b) 半径为r

充要条件：D2＋E2－4F＞0 方程

一般

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

圆心坐标：ED－2，－2

1半径r＝2D2＋E2－4F

2.点与圆的位置关系

(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．

标准

(2)三种关系：

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．

①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；

②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；

③(x0－a)2＋(y0－b)2

辨

析

感

悟

1．对圆的方程的理解

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√) (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(×) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(×) (4)(2013·江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y＝1相切，则325圆C的方程是(x－2)2＋y＋22＝4.(√) 2．对点与圆的位置关系的认识

2(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√) (6)已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条．(×) [感悟·提升] 1．一个性质

圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)．

2．三个防范

一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；

二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；

三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).

考点一

求圆的方程

【例1】

根据下列条件，求圆的方程．

(1)求过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43的圆的

方程．

(2)已知圆的半径为10，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为42. 解

(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．①

将P，Q点的坐标分别代入①得

4D－2E＋F＝－20，

②

D－3E－F＝10，

③令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④

由已知|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程④的两根，

所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤

D＝－2，解②、③、⑤组成的方程组得E＝0，F＝－12

D＝－10，或E＝－8，F＝4.

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. (2)法一

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10. 由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.①

由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为42，

将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，

整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 由弦长公式得

2a＋b2－2a2＋b2－10＝42，

化简得a－b＝±2.②

解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.

法二

根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，由勾股定理，可得弦心距

d＝422＝10－8＝2. r2－2又弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离，

所以d＝|a－b||a－b|，即＝2.③

22又已知b＝2a.④

解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.

规律方法

求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

【训练1】

(1)(2014·广安诊断)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(

)．

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 (2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．

解析

(1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直|4a－3|1线4x－3y＝0相切，得5＝1，解得a＝2或－2(舍去)．故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A. (2)依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，将A，B点坐标分别代入方程225－a＋1＝r，得

221－a＋9＝r，

a＝2，解得2所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10. r＝10.答案

(1)A

(2)(x－2)2＋y2＝10 考点二

与圆有关的最值问题

【例2】

已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. y(1)求x的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

解

原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．

y(1)x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

y所以设x＝k，即y＝kx. |2k－0|当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2＝3，解k＋1得k＝±3(如图1)．

y所以x的最大值为3，最小值为－3.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|＝3，解得b＝－2±6(如图2)．

2所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．

又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.

规律方法

与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

(1)形如μ＝y－b形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

x－a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

【训练2】

(2014·金华十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(

)．

A.2

C.3

B．22

D．23 解析

圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，1根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×2|PA|r＝|PA|＝|PC|2－r2，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y|3－4＋11|10＋11＝0的距离d＝＝5＝2.所以四边形PACB面积的最小值为32＋422|PC|2min－r＝4－1＝3. 答案

C 考点三

与圆有关的轨迹问题

【例3】

(2013·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23. (1)求圆心P的轨迹方程；

2(2)若P点到直线y＝x的距离为2，求圆P的方程．

审题路线

(1)设圆心P为(x，y)，半径为r⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r可得点P的轨迹方程．

(2)设点P(x0，y0)⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P在第(1)问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径⇒得到圆P

的方程．

解

(1)设P(x，y)，圆P的半径为r. 由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3. 故P点的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P(x0，y0)，由已知得22|x0－y0|2＝2. 2|x0－y0|＝1，又P在双曲线y－x＝1上，从而得22

y－x＝1.00x0－y0＝1，x0＝0，由22得此时，圆P半径r＝3. y0－x0＝1y0＝－1.x0－y0＝－1，x0＝0，由22得此时，圆P的半径r＝3. y－x＝1y＝1.000故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3. 规律方法

求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：

(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

【训练3】

已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC中点M的轨迹方程．

解

(1)法一

设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1. 又kAC＝所以yy，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，

x＋1x－3

yy·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. x＋1x－3因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．

法二

设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，1|CD|＝2|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C

的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．

(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点x0＋3y0＋0坐标公式得x＝2(x≠3且x≠1)，y＝2，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，

即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．

1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．

2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．

3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．

方法优化6——利用几何性质巧设方程求半径

【典例】

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．

[一般解法]

(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴交点是(3＋22，0)，(3－22，0)，

设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则有0，1＋E＋F＝3＋222＋D3＋23－222＋D3－22＋F＝0，2＋F＝0，

D＝－6，解得E＝－2，F＝1，

故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.

[优美解法]

(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．

故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋t－12＝3，

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. [反思感悟]

一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．

优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．

【自主体验】

1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．

11解析

根据|AB|＝3，可得圆心到x轴的距离为2，故圆心坐标为1，2，故12所求圆的标准方程为(x－1)＋y－2＝1. 21答案

(x－1)2＋y－22＝1 2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．

解析

设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，|4×0－3×1－2|则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝42＋－32|AB|＝1，则r2＝d2＋22＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10. 答案

x2＋(y－1)2＝10

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2014·雅安月考)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(

)．

A．x2＋y2＝2

C．x2＋y2＝1

解析

AB的中点坐标为(0,0)，

|AB|＝[1－－1]2＋－1－12＝22，

∴圆的方程为x2＋y2＝2. 答案

A 2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(

)．

A．第一象限

C．第三象限

22B．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝4 B．第二象限

D．第四象限

3解析

圆x＋y－2ax＋3by＝0的圆心为a，－2b，

1b1b则a＜0，b＞0.直线y＝－ax－a，k＝－a＞0，－a＞0，直线不经过第四象限．

答案

D 3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(

)．

A．x2＋y2＋10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0

B．x2＋y2－10y＝0 D．x2＋y2－10x＝0 解析

设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，

∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，

∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0. 答案

B 4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(

)．

1A.－5，1

1B.－∞，－5∪(1，＋∞) 

1C.－5，1

1D.－∞，－5∪[1，＋∞) y＝x＋2a，解析

联立解得P(a,3a)，

y＝2x＋a，1∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－5＜a＜1，故应选A. 答案

A 5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(

)．

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析

4＋x0x＝2，设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则－2＋y0y＝2，

x0＝2x－4，22解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x0＋y0＝4，即(2x－4)2＋(2yy0＝2y＋2.＋2)2＝4，

化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案

A 二、填空题

6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．

解析

过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，1－0∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 2－1答案

x＋y－1＝0 7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．

解析

由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的|1－1＋4|距离减去半径，即－2＝2. 2

答案

2 8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析

据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，1＋m≥0，所以有|1＋m|2≥1.

解得m≥－1＋2.故m的取值范围是[－1＋2，＋∞)．

答案

[－1＋2，＋∞) 三、解答题

9．求适合下列条件的圆的方程：

(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；

(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．

解

(1)法一

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

b＝－4a，3－a2＋－2－b2＝r2，则有|a＋b－1|2＝r，解得a＝1，b＝－4，r＝22. ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二

过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

∴半径r＝1－32＋－4＋22＝22，

∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一

设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

1＋144＋D＋12E＋F＝0，则49＋100＋7D＋10E＋F＝0，81＋4－9D＋2E＋F＝0.

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95. ∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.

法二

由A(1,12)，B(7,10)，

1得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－3，

则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0. 3x－y－1＝0，x＝1，联立得

x＋y－3＝0y＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r＝1－12＋2－122＝10. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. 10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解

如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为

x0－3y0＋4xy2，2，线段MN的中点坐标为，2.由于平行四边形的对角线互2相平分，

xx0－3yy0＋4故2＝2，2＝2. x0＝x＋3，从而

y0＝y－4.N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

9122128但应除去两点－5，5和－5，5(点P在直线OM上时的情况)．

