习题3.1ppt配套教案板书设计

习题3.1 直线的倾斜角和斜率

一、教学目标

知识与技能：

回顾直线的倾斜角和斜率的概念，对本节内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用只是解决问题的能力. 过程与方法: 能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析问题，解决问题的能力. 情感态度与价值观：

通过直线的倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的回顾，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

二、教学重点与难点:

直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 三、教学方法：启发、引导、讨论. 四、教学过程：

阶段1：知识梳理

要点初探

教材内容梳理

(一)教材整理1 直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. ．．．特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. Y如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的. bac所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: OX

一个定点和一个倾斜角α．．．．P．．．．．．．．. (二)教材整理2 直线的斜率及斜率公式

1、直线的斜率

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα. ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 2、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

此公式的特点：

1)与两点的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母 不能交换; 2) 公式表明,直线相对于x轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直

线的倾斜角; 3)当x1=x2时,公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. 5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

(三)教材整理3 直线的倾斜角与斜率的关系

直线斜率k随着倾斜角α的变化规律为：的倾斜角和斜率都刻画了直线的倾斜程度，倾斜角用角表示，斜率用实数表示. 当α=0°时，k=0；

当0°<α<90°时，0

当α=90°时，k不存在；

当90°<α<180°时，-∞

探究

通关

类型1 直线倾斜角的理解

例1：(1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(

) A．0°≤β<180° B．15°<β<180°

C．15°≤β<180° D．15°≤β<195°

(2)

已知直线l1 的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________ 分析：本题考查了倾斜角的定义以及倾斜角的取值范围.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

解:(1)因为直线的倾斜角β－15°, 所以0°≤β－15°<180°,即15°≤β<195°. (2)当α1=0°时,α1=α2=0°; 当0°≤α1<180°时,倾斜角α1有三种情况: α1为锐角,α2=180°-α1; α1为直角,α2=α1=90°=180°-α1; α1为钝角,α2=180°-α1; 所以α2=0°或,α2=180°-α1; [巩固训练] 给出下列命题：

①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即为x轴；

④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°} 与直线集合建立了一一映射关系．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3 D．4 类型2 已知两点坐标求倾斜角和斜率 例2：已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2， ＋1)．

(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

分析:本题考查了直线的两点间的斜率公式以及直线与线段有交点问题,常利用数形结合运用公式求解(运用计算机进行动画演示)．

解

：(1)由斜率公式得

3113311

kBC3，kAC2(1)321

倾斜角的取值范围是001800.

00.又tan000,AB的倾斜角为

600.tan6003,BC的倾斜角为

3300.tan300.AC的倾斜角为

3

（2）如图所示：连接AB，AC，BC．在AB上取一点D,连接CD

当直线CD由CA绕C点按逆时针方向旋转到CB时,CD与AB

恒有交点．

即D在线段AB上，此时kCA≤

kCD≤ kCB，

3所以k的取值范围为：

[，3]

3

[巩固训练] 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.

解

：如图所示:连接PA,PB

2040

由题意可知kk1.1,PBPA3131

(1)

要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围 k≤－1，或k≥1. (2)

由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又因为直线 PB的倾斜角是45°， 直线PA的倾斜角是135°, 所以α的取值范围是45°≤α≤135°

类型3 直线的倾斜角与斜率的综合应用

例3：已知P,2),P2(x,3),P)在一条直线上,求x的值.1(13(3,1

解：P1,P2,P3在一条直线上

kPkP

1P22P3

73213

x.即3x13x

巩固训练: 已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．

[分析] 题中直线的倾斜角已知，且三点在同一条直线上，故可考虑根据点与斜率及其倾斜角之间的关系求解．

00直线l的斜率ktan451.

又p1,p2,p3都在此直线上.

PPp1p31P22P3

1y115

即1.

323x2

解得x27,y10.

y3例4：已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(-1≤x≤1)，试求 的最和最小值。

x2

y3解：由的几何意义可知，

x2

它表示经过定点P(2,3)与曲线AB上任一点（x,y)

的直线的斜率k,由图可知kPAkkPB,

由已知可得A(1,1),B(1,5).

1(3)45(3)

则kPA,kPB8.1(2)31(2)

4y34

k8,即的最大值为8，最小值为.3x23

方法总结

1．用斜率公式证明三点共线：

若斜率存在且相等，且两直线有公共点，则三点共线；

若斜率不存在且两直线有公共点，则三点也共线. yb最值或范围：

2．求代数式

xa解：45.kkkk.由斜率公式 yy1

k2(x1x2)x2x1何意义是过P(x，以利用数形结合来求解．

课堂小结: (1)

直线的倾斜角和斜率的概念． (2)

直线的斜率公式. (3)

基础知识应用

作业布置: P94 习题3.1 1. 3.

的形式，可知 的y)与P′(a，b)两点的几

ybxa直线的斜率．故可

板书设计:

§3.1倾斜角与斜率习题课

1．直线倾斜角的概念

类型一：

类型二：

小结：

2. 直线的斜率

类型三：

五、教学反思：

本节课先对基础知识进行复习回顾，在此基础上解决了三类问题，在解决问题过程中，通过小组讨论，合作探究充分调动学生的学习能动性，而且在老师的指引下，不会脱离本节内容，从实际上课效果来看，本节课基本达到了应有的效果，不足之处在于时间安排不合理，给学生思考和讨论的时间不充分，学生展示的机会太少。