3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教案设计

第三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率[来源:学§科§网]

一、教材分析

本课是解析几何第一课时。解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

综上，从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。

二、学情和教学设计分析

（一）学情分析

已知

1、了解点与坐标的关系，实现了最简单的形与数的转化；

2、了解刻画楼梯的倾斜程度可以用角的正切值表示

3、学生具备了一定的数形结合和分类讨论的思想；

未知

1、楼梯表面抽象成的直线倾斜程度刻画的推广；

2、为什么有了倾斜角，还要引入斜率来描述直线的倾斜程度呢? “角”是形，“率”是数，它们的关系如何？

3、两点确定一条直线，一个定点和一个倾斜角（斜率）也能确定同一条直线，两个几何问题的联系是什么?

（二）教学设计分析

1.

斜率是本课的核心概念，因为它既从代数角度刻画了倾斜程度，同时也是建立直线方程的基础。对于引进斜率的合理性和必要性的认识是本课教学的难点。

(1)

斜率为什么也能表示直线的倾斜程度。关键是让学生认识到斜率与倾斜角的对应关系。倾斜角与斜率的关系中有几个难点:一是所有的直线都有倾斜角，但并不是所有直线都有斜率;二是并非倾斜角越大，斜率也越大。产生这两个难点的原因在于:一是学生缺乏对倾斜角范围的认识，二是分类讨论的思想意识淡薄，三是由式子k=tan数及其图象的能力不足。因此教学中有必要分步设置台阶，通过问题让学生思考讨论，以突破难点。

(2)为什么有了倾斜角，还要引入斜率来描述直线的倾斜程度呢?要认识这一点，需要从代数的角度多方面分析，如斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性，斜率在研究直线平行与垂直上的作用，直线的代数表示y=kx+b中k的几何意义等。但一节课是难以面面俱到的，需要今后在学习中螺旋上升，分步达成。为了使课堂教学体现准、精、简的特点，可作如下处理:以生活中坡角和坡度作类比，引出斜率概念，使学生体会可以从不同侧面描述倾斜程度，“角”是形，“率”是数。

引导学生思考：在直角坐标系下，两点定，直线定;直线定，倾斜程度定；那么给定两点坐标，如何才能求出描述直线AB的倾斜角和斜率呢? 学生在自主探究的过程中体会斜率是直线倾斜程度的代数化表示，

通过斜率的运算，可以研究直线的几何性质。最后通过例题从不同的侧面体现斜率在沟通数与形上的作用。

三、教学目标：

知识与技能

(1)

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)

理解直线的倾斜角的唯一性. (3)

理解直线的斜率的存在性.

(4)

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论. 四、教学过程：

（一）

直线的倾斜角的概念

提问：平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定的？

学生回答;两点确定一条直线. 还有其它方法吗？或者说只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …，这些直线有什么联系呢? [来源:学科网]YabcOPX

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后,

我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. YaObXc如图, 直线a∥b∥c, 那么它们

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α．．．P．．．．．．．．. (二)直线的斜率: 从坡度引入直线的斜率概念：

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

计算当α=0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°时，分别有k =？

（学生计算并回答）

想一想: (1)是否每条直线都有斜率？

（2）倾斜角在什么范围时，分别有k=0,k>0,k<0? (3)随着倾斜角的逐渐增大，斜率是如何变化的？

（教师引导学生结合正切函数图像去理解）

强调：一条直线的倾斜角α=90°，则斜率k不存在.完善斜率的定义。

例1：已知直线的倾斜角为α，斜率为k，

（1）当4560时，k的取值范围是

（2）当45135时，k的取值范围是

(3)当-1k1时，α的取值范围是

解答（略）

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

(三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) [来源:Zxxk.Com]

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面三点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得。

(四)例题: 例2 已知A(-1, 1), B(1, 1)，

C(2,31) , （1）求直线AB, BC, CA的斜率和倾斜角； （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率的变化范围。

分析: （1）已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而根据k = tanα，可求出倾斜角。（2）结合图形得出kACkkBC解: (略) 小结：（1）由直线上两点的坐标可以求出斜率，由斜率求出倾斜角．（2）利用数形结合思想求解斜率范围。

变式训练：已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

2(3)5, 规范解答：如图所示, 直线PA的斜率是k11(2)021. 直线PB的斜率是k23(1)2当直线l由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角(tan5)增至90°，斜率的变化范围是[5,)；当直线l由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90°增至11(tan，斜率的变化范围是)(,]. 221所以斜率的变化范围是(,][5,). 2(五)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式. （3）直线的倾斜角与斜率的关系

(六)课后作业:习题3.1 A组 1. 2. 3.B组1

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