第四章 圆与方程（通用）主要内容及教案内容

《4.2.1直线与圆的位置关系》教学设计

四川省双流棠湖中学

陈曦

一、教学内容分析

《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。本节课是4.2.1直线与圆的位置关系的第一课时。

二、学情分析

本节课教学的学生是高一文科班的学生，数学思维能力、运算能力等有待提高。在知识储备方面，学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定，在上节的学习过程中掌握了直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式，掌握了利用方程组的方法来求直线的交点，具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础，也有一定的数形结合解题思想的基础。

三、课时目标

1、理解直线和圆的三种位置关系，并掌握其判定方法和性质； 2、通过直线和圆的位置关系的探究，体会数形结合的思想，培养观察、分析和概括的能力； 3、从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系，培养辩证唯物主义观点．

四、教学重、难点

教学重点是：直线与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤

教学难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围

五、教学用具

多媒体课件、几何画板

六、教学过程

（一）创景设问

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

学生思考后，引导学生将此实际问题转化为直线与圆的位置关系问题，引出课题，呈现课时目标。

【设计意图】以实际问题创设情境，凸显时代气息，使课堂教学充满乐趣，让所学知识“活”起来，让学生从中体会到本章所研究问题是从生活中来，到生活中去。

（二）互动解疑

问题1：想一想，直线与圆有哪几种位置关系？

学生齐声回答：相交、相切、相离。

问题2：继续追问，它们的交点个数是否相同？

学生回忆后回答：不同。相交有两个公共点；相切只有一个公共点；相离没有公共点。

问题3：这说明，利用交点个数可以判断直线与圆的位置关系，那么如何求出直线与圆的交点个数呢？

学生思考后回答：联立方程（类比求两直线的交点坐标方法）

例1、已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它的交点坐标。

学生尝试求解例1，投影展示，师生共同点评，PPT呈现规范解答过程。

问题4：从几何的角度看，若记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，那么直线与圆相离、相切、相交的等价条件分别是什么？

学生根据图形容易得出结论，齐声回答三种位置关系的等价条件，并尝试用此法求解例1，投影展示，师生共同点评，PPT呈现规范解答过程。

师生共同归纳判断直线与圆位置关系的方法：

（1）代数法：将直线与圆的方程联立，消元得到一个关于x(或y)的一元二次方程，求出其判别式△，比较△与0的大小。 （2）几何法：求出圆心坐标及圆的半径r，计算出圆心到直线的距离d，比较d与r的大小。

位置关系

代数法

几何法

0

dr

相离

0

dr

相切

0

dr

相交

问题5：结合例1的求解，体会代数法和几何法的本质，各自的适用范围如何？哪种操作更便捷？

事实上，在判断直线与圆位置关系的题目中，由于几何法充分运用了圆的几何性质，比较而言显得更为简洁。而代数法更能反映解析几何的特点，能求出交点法坐标，且使用范围更广，如后续要学习的直线与椭圆、直线与抛物线等位置关系的问题。

根据我们得出的结论，解决创景设问中提出的问题。

【设计意图】从学生已有的知识和经验出发，建立新旧知识之间的联系，体会从形到数，再从数到形的过程，通过尝试解答例1的过程，找到两种方法的解答步骤，同时体会两种方法的优劣。

（三）拓展延伸

例2、已知圆M:x2y26x50，若过点P(3,0)斜率为k的直线l与圆M相交，求实数k的取值范围。

学生思考后容易想到，此题的两种常规解法：代数法和几何法。

由于涉及到含参的运算问题，所以师生共同完成此题，教师规范板书解答过程。

学生从运算量的角度，再一次体会到几何法的便捷性。

问题6：此题中直线虽是变动的，但是也有其特征，那么我们还有其他的解决办法吗？

学生小组讨论、交流，随后小组代表上台讲解，展示成果，师生共同点评。

事实上，学生只要注意到直线恒过点P(3,0)的特征，就比较容易想到利用数形结合的方法解答此题。

学生讲解后，教师再利用几何画板展示，让学生更加准确地观察到相交时直线变化的两个边界位置，进而由图形求出切线的斜率。

【设计意图】在学生学习并总结了直线与圆位置关系的判定方法后，通过例2进一步研究与此相关的含参问题，拓宽学生思维，渗透待定系数法思想、数形结合思想等，为今后的学习打下基础。

变式1：若直线xym0与圆(x2)2y28有公共点，则实数m的取值范围是（ ）

A.(2,6) B.(,2][6,) C.[2,6] D.2,6 变式2：对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系是（ ）

A.

相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【设计意图】通过独立完成两个变式训练，当堂巩固所学知识，同时通过平板上传答案，及时统计情况，反馈教学效果，提高学生信心。

（四）课堂小结

本节课你学到了哪些知识、方法？

用到了哪些数学思想？

【设计意图】通过学生谈收获，梳理本节课所学知识，理清知识脉络。

（五）作业布置

教材128页练习3、4题

七、板书设计

课题：4.2.1直线与圆的位置关系（1）

归纳直线与圆的位置关系、判断方法

例题板书

投

影

区

例题板书

学生展示区