小结特级教师教学实录

圆锥曲线复习课复习（1）教案

一、

考试内容

圆锥曲线方程

椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

二、考试要求

1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。

2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

4．了解圆锥曲线的初步应用。

三、复习目标

正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 四、双基透视

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。

．．．．．．．．．．．．．．．(一)椭圆及其标准方程

1.

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2. x2y2y2x22.椭圆的标准方程：221（a＞b＞0），221（a＞b＞0）. abab23.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母2大于y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴

正确判断焦点的位置；⑵

设出标准方程后，运用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质

1

x2y21.椭圆的几何性质：设椭圆方程为221（a＞b＞0）. ab⑴

范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里. ⑵

对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶

顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）. 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷

离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ec叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平aca程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

⑴

定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆. x2y2⑵

准线：根据椭圆的对称性，221（a＞b＞0）的准线有两条，它们的方程aba2y2x2为x.对于椭圆221（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，caba2即y. c3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. x2y2 设F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆221（a＞b＞0）的左、右两焦点，abM（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为MF1aex，MF2aex. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a=b+c、e标准方程只需两个独立条件.

(三)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹. 若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 222c两个关系，因此确定椭圆的ax2y2y2x22.

双曲线的标准方程：221和221（a＞0，b＞0）.这里ababb2c2a2，其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

2

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴

正确判断焦点的位置；⑵

设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质

2cx2y21.双曲线221的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e＞1，离心率e越大，aab双曲线的开口越大. bx2y2x2y22. 双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲aababm线的渐近线方程是yx，即mxny0，那么双曲线的方程具有以下形式：

nm2x2n2y2k，其中k是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大x2y2于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线221，它的焦点坐标是ab2aa2（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是x和x. ccc222在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有e与cab的关系，与椭圆一样确a定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (五)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：

y22px、y22px、x22py、x22py. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

（1）范围：x≥0；

3

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

（5）准线方程xp；

2（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

p;y22px:PFx12px22py:PFy1;x22py:PFy12y22px:PFx1p2 p2（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

2五、范例分析

x2y2例1、已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴ab分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0).

代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2，

得

b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2.

化简后，得关于x的一元二次方程

(a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20.

4

于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2).

由已知，得△=0．即a2k2b2m2.

①

m,0),S(0,m).

kmyx,k,kx

令顶点P的坐标为（x，y），

由已知，得

解得ym.my.在直线方程ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(22

代入①式并整理，得

ab1,

即为所求顶点P的轨迹方程．

x2y222ab说明：方程1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

22xyx2y223

例2、已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的3ab3距离是.（1）求双曲线的方程；

2

（2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

解：∵（1）c23,原点到直线AB：xy1的距离aba3abab3d.c2. a2b2b1,a3.32

故所求双曲线方程为

xy21.

（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得

(13k2)x230kx780.

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

xx215k5x01ykx5,00213k213k2

y11kBE0.x0k

x0ky0k0,

即15k5k2k0,又k0,k7

2213k13k故所求k=±7. 说明：为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例3、过点P(3, 0)作直线l与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，

5

求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

分析：若直接用点斜式设l的方程为y0k(x3)，则要求l的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为xmy3，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），l：xmy3

yAPBOx11|OP||y1||OP||y2|3(|y1||y2|)3(y1y2)

22把xmy3代入椭圆方程得：3(m2y223my3)4y2120，即

SAOB(3m24)y263my30，y1y2363myy，

123m243m24108m21212|y1y2|144x48

2222(3m4)3m43m449m23433m21433m21

2223m43m4(3m1)343m3m21∴S33m21432

23336

m

23，此时3m212233m136令直线的倾角为，则tg

26即△OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为

6。

2x2y2例4、已知椭圆221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点abM向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点，

F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2

的取值范围；

b2b2解：（1）∵F1(c,0),则xMc,yM，∴kOM。

aacbb2b2,OM与AB是共线向量，∴，∴b=c,故e∵kAB。

aaca2

6

（2）设FQr1,F2Qr2,F1QF2,1r1r22a,F1F22c,

r12r224c2(r1r2)22r1r24c2a2a2cos110

r1r222r1r22r1r2r1r2()2当且仅当r1r2时，cosθ=0，∴θ[0,2]。

说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。

x2y22例16、一条斜率为1的直线l与离心率为的椭圆C：221（ab0）2ab交于P、Q，两点，直线l与Y轴交于点R，且OPOQ3，PR3RQ，求直线l和椭圆C的方程。

c2222，，a2b

a22x2y221，设l方程为：yxm，P(x1,y1),Q(x2,y2)

所以椭圆方程为22bbx2y221222由2b2消去y得3x4mx2m2b0

byxm解：

椭圆离心率为16m243(2m22b2)8(m23b2)03b2m2(*)

42x1x2m……（1）

x1x2(m2b2)……（2）

33OPOQ3

所以x1x2y1y23

2而y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m

4242222所以2x1x2m(x1x2)m3

(mb)mm3

3322所以3m4b9……（3）又R(0,m)，PR3RQ，(x1,my1)3(x2,y2m)

22从而x13x2……（4）

由（1）（2）（4）得3mb……（5）

2由（3）（5）解得b3，m1

适合(*)，

xy21

所以所求直线l方程为：yx1或yx1；椭圆C的方程为63说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的

7 2

练习：（2004年北京春季高考）

已知点A（2，8），B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线y22px上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

yBAOFMxC

（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

（II）求线段BC中点M的坐标；

（III）求BC所在直线的方程。

分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

解：（I）由点A（2，8）在抛物线y22px上，有822p2

解得p16

所以抛物线方程为y32x，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分2AF2

设点M的坐标为(x0，y0)，则

FM22x082y08，0

解得x011，y04

所以点M的坐标为

1212点，且(11，4)

8

yBAOFMxC

III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。

设BC所成直线的方程为

y4k(x11)(k0)

由y4k(x11)y232x消x得

ky232y32(11k4)0



所以y32II）的结论得y1y21y2k

由（24

解得k4

因此BC所在直线的方程为

y44(x11)

即4xy400。9 （