3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量第二课时教学实录

邳州市第四中学高二数学教案

周次

课题

直线的方向向量与平面的法向量

第

1课时

授课形式

新授课

主编

审核

理解直线的方向向量与平面的法向量

教学目标

会用待定系数法求平面的法向量

重点难点

直线的方向向量与平面的法向量的求法

教学方法

课堂结构

一．问题情境

在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。如何用向量刻画空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？

二．概念讲解

1.直线的方向向量

我们把直线l

上的向量e（e0）

以及与e共线的非零向量叫做直线l的

2.平面的法线

与平面

的直线叫做平面的法线

3.平面的法向量

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n。此时，我们把向量n叫做平面的法向量。

一个平面的法向量有

个，过一个定点作平面的法向量有

个

三．基础自测

1.在空间直角坐标系O—xyz中，写出平面yOz的一个法向量

2.已知A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），那么平面ABC的一个单位法向量的坐标是

3.已知A1,0,3,B2,y,z，且直线AB的一个方向向量是a(1,1,2)，则y

z

4.平面的法向量是n，平面的法向量是m，若，则m，n的关系是

四．典型例题

例1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：DB1是平面ACD1的法向量。

变式训练1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点，M是CC1的中点，

求证：A1O是平面MBD的法向量

在空间直角坐标系中，我们还可以用待定系数法来求平面的法向量。

变式训练2：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量。

解：设平面ACD1的一个法向量为a(x,y,z),则

aAC,aAD1,从而

aAC0,aAD10.

因为AC(1,1,0),AD1(1,0,1)，

所以1x1y0z0,1x0y1z0

解方程组xy0xz0

得到yxxz

不妨取x1，则yzx1.

所以，a(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量。

例2．已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).

（1）．若a3，且a分别与AB,AC垂直，求向量a的坐标。

（2）．设M(x,y,z)是平面ABC内任一点，求x,y,z满足的关系式。

例3.在空间直角坐标系中，设平面经过点P(x0,y0,z0)，平面的法向量为e(A,B,C)，M(x,y,z)是平面内任意一点，求x,y,z满足的关系式。

五．课堂自测：

1.已知点A(2,5,1)，B(0,3,1)，则直线AB的一个方向向量为

. 2.已知直线l经过点A(1,1,2)，a(1,2,3)是l的方向向量，若P(x,y,z)是l上任意一点，则x,y,z满足的关系式是

3.若异面直线a,b的方向向量分别是(1,1,1)和(2,3,2)，则a，b的公垂线的一个方向向量的坐标是

4.已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是平面的法向量，M(x,y,z)是平面内任意一点，则x,y,z满足的关系式

5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，条件甲：ABCDA1B1C1D1是正方体；条件乙：AC1是平面A1BD的法向量，那么甲是乙的

条件

6.已知A(2,1,0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3,1,2)，则点B的坐标是

7.已知A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,1)

（1）写出直线BC的一个方向向量；

（2）设平面经过点A，且BC是的法向量，M(x,y,z)是平面内任意一点，试写出x,y,z满足的关系式。

回顾与反思