3.1.1 空间向量及其线性运算名师教学设计1

课题：3.1.1

空间向量及其线性运算

【学习目标】

1．运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；

2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；

3．理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理．

【课前预习】

问题1、我们已经学过平面向量的运算及其性质，在平面内既有大小又有方向的量叫平面向量．

问题2、在空间，既有大小又有方向的量叫空间向量．

如位移、力、速度、加速度等．平面向量是特殊的空间向量．

问题3、类比平面向量，空间向量如何进行运算？它们具有什么性质？平面向量所具有性质在空间向量中也成立吗？

1、空间向量的基本概念（平面向量与空间向量性质比较）．

平面向量

空间向量

定义

具有大小和方向的量

具有大小和方向的量

几何表示法



几何表示法



表示法

字母表示法

a、AB

字母表示法 a、AB

向量的模

相等向量

相反向量

单位向量

零向量

[来源:学科网]向量的大小a、AB

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

模为1的向量

长度为零的向量

向量的大小a、AB

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

模为1的向量

长度为零的向量

[来源:Zxxk.Com]

2、空间向量的运算．

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

（如图

） OB＝OA＋AB＝a＋b

BA＝OA－OB＝a－b

OP＝a(∈R)

运算律：

＝b＋a

加法交换律：a＋b加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

数乘分配律：(a＋b)＝a＋b[来源学&科&网Z&X&X&K]

3、共线向量定理：

【典型例题】

例1

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

（1）CB＋BA1；

（2）AC＋CB＋12AA1； （3）AA1－AC－CB．

例2

如图，在长方体OADBCA1D1B1中，OA＝3，OB＝4，OC＝2，OI＝OJ＝OK＝1，点E，F分别是DB，D1B1的中点．设OI＝i，OJ＝j，OK＝k，试用向量i，j，k表示OE和OF．

【学后反思】

【课堂检测】

1、四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)化简的结果是________．

2、在正方体ABCD－AC→→→1B11D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是________．

A B M G

C

3、正方体AC1中，点E，F分别为棱BC和A1D1的中点，求证：四边形DEB1F为平行四边形．

4、已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）AB＋BC＋CD； （2）AB＋12(BD＋BC)； （3）AG－12(AB＋AC)．

【课后巩固】

1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA→→1＝c，且向量BM＝xa＋yb＋zc，则8xyz＝________. 2．已知向量AB→，AC→，BC→满足|AB→|＝|AC→|＋|BC→|，则下列叙述正确的是________．

D

→→→→→→→→→→①AB＝AC＋BC

②AB＝－AC－BC

③AC与BC同向

④AC与CB同向

→→3．已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别→为E，F，则EF＝________.(用向量a，b，c表示) →→→→4．已知平面四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝kOA，OF＝kOB，运用向量法证明EF∥AB. →→→5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则用向量a，b，c→表示向量MN＝________. 6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向→量BD1的是________(填序号)．

→→→→→→→→→→→①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1. 7.如图所示，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1的对角线BC1上的点，→→→→且BN∶NC1＝3∶1，设MN＝αAB＋βAD＋γAA1，则α，β，γ的值分别为________．[来源学科网Z.X.X.K]

8．已知a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，其中b≠0且m，n，p两两不共线，若a∥b，则实数x，y的值分别为________．