3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量优质公开课教案

利用空间向量证明空间中的位置关系

考纲要求

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量

2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系

3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）

知识与技能

使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.

过程与方法

通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的

思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：

1. 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；

2. 通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 能力及数学思想方法要求

能够将线线、线面、面面的平行和垂直问题转化为向量的关系解题时，应能根据具体情况选择恰当的方法。大多数情况下，应建立空间直角坐标系，借助向量的坐标解决所证明的问题。

教学重点：向量角度认识平行，垂直

教学难点：数学模型的建立．

教学过程

引例1，在ABC中,点M,N分别为AC,BC的中点，求证:MN//AB

AMANDMBA'CD'PBNCB'HC'

1

''引例2, 在如图所示的正方体中，点M,N分别为AB,AD的中点，点H,P分别为BC,C'D''的中点，

求证：（1）MN//HP

（2）MNAC

引例小结：由以上两个引例导出基向量法（坐标法），并比较两种方法的优缺点：

向量法证明空间中的位置关系的问题是自主选择的解题方法，试题既可以用几何法，也可以用向量法解决，考生可以根据试题的实际情况选择，由于两种解法的难易可能会有差异，因此要进行合理的选择。[来源:学.科.网]

认识相关名称

直线的方向向量：直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线的方向向量

[来源:Z|xx|k.Com]

le-2eαnm平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量n垂直于平面,记作n，那么向量n叫做平面的法向量

理解相关结论[来源:Z_xx_k.Com]

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v(结论以图形展示给学生) 则

线线平行：

l∥ma∥bakb；

线线垂直：l

⊥ma⊥bab0；

面面平行：

∥u∥vukv.

面面垂直：

⊥u⊥vuv0.

线面平行：

l∥auau0；

线面垂直：

l⊥a∥uaku；

教学例题

例1.在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,AC的中点. 1 (1)证明：EF//平面AA1D1D；

(2)证明: EF平面ACD.

1D1C1B1DFC2

A1

AEB

zD1C1B1DAxEFCyA1B

例2.如图在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA1面ABC，点D是BC的中点．

求证：（1）ADC1D；（2）求证：A1B∥平面ADC1

A1B1C1ADBC

zA1C1B1ACDxBy

例3.如图在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，

ABAD，ACCD，ABC60°，

PAABBC，E是PC的中点．

（1）求平面ABE的一个法向量；

（2）在线段PD上是否存在点F,使得CF//平面ABE,若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；

P

E

DA

C

B

3

课堂练习

SE，F，G分别是BC，DC练习1.如图在正方体ABCDA1BC11D1中，是B1D1的中点，和SC的中点，求证：

（1）直线EG//平面BDD1B1；

（2）平面EFG//平面BDD1B1．

练习2.如图：已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，

C1CBC1CDBCD=60,且C1CCD1

（1）求证：CC1BD；

（2）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由。

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课堂小结[来源:Zxxk.Com]

1.利用空间向量证明空间位置关系（平行与垂直）；

2.计算平面的法向量的过程

课堂作业

相关练习册

板书设计

空间向量的位置关系

1.平行 例题 作业

2.垂直 小结

教学反思：本节课是立体几何这一单元复习归纳课，本着“载体服务于核心内容和核心思想”这一原则，用学生熟悉的基本载体——四棱锥来设计问题，包括形状、大小、位置关系，来强化立体几何中的基本度量关系，以提高复习的效率。

在设计时充分参考了课程标准、考试大纲、考试说明，结合目前复习的进度，对2012年考试说明的一道样题进行改编，一个图形9个问题，涵盖立体几何考查的形状、大小、位置关系，突出向量方法的优势。在教学过程中，每一个问题的预设时间是5分钟，但在第一问中，学生对于图形的空间想象和作图就显得比较慢，花了接近10分钟，这也就导致了最后一问没有讲解到，这也暴露出了学生作图不熟练、不规范的问题，这在以后的复习中还得注意。学生在回答问题的过程中，表现踊跃，表达清晰准确，可见常规题的复习还是达到了效果，给学生时间，让他们进行思维的生成，这才是教学的出发点，学生通过对比几何法、向量法、坐标法，体会到各种方法的使用情形和优劣，思辨论证，逐渐构建知识体系，网络化、具体化。对于基本运算，学生也是完成得不错，对于较复杂的运算即存在性问题，由于时间的问题，就没有机会看到了。这应该算是本堂课的遗憾。

最后，本堂课的最后点出，几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。让学生对所学进行更高层次的升华，不仅仅可以解决目前的立体几何问题，也为下一阶段解析几何的学习做好铺垫。

几点思考：

复习中变式训练几个设问比较适宜？

是选用一题多问，还是两个解答题？

方法的讲解如何重点突出向量法，几何法的讲解适宜？

向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运用向量及其运算中数与形的关联。教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体的模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背。

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总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，在学习空间向量的运算及定理时，运用类比、归纳思想，使学生学会数学思考和推理。

给出了利用空间向量解决立体几何的“三步曲”，

注重了用通法去解决技巧性较大、随机性较强的问题。

思考、探究的多次出现，引导学生自己发现问题、提出问题，主动思维，理解和掌握数学基础知识。了解概念、知识的背景，认识数学知识与实际的联系，学会用数学知识去解决一些实际问题。对立体几何知识没有系统的要求，强调了对向量方法的一般性认识

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