2.2.1 椭圆的标准方程教学设计及说课稿

《椭圆的标准方程》教学设计

一．教材及学情分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（江苏教育出版社）选修2－1第二章第二节《椭圆的标准方程》第一课时．

在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．

在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修2－1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．

根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．

二．教学目标：

1．知识与技能目标：

①理解椭圆的定义

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力

2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力

②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识

3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识

②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风

④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美

⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心

三．重、难点

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想

难点：（1）标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以限制的原因。

关键：含有两个根式的等式化简

四．教法

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．

五．学法

遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。

六．教学准备

一个PowerPoint课件

七.课型

新授课

八．教学过程

（一）创设情境

由太阳系各大行星运行系统动画影片切入，逐渐构纳出地球的运行轨迹，初步给出椭圆的表面映象认识。此时充分借助多媒体强大播放功能形象生动地演示各行星的运行轨迹，再重点突出地球的运行轨迹。这样有助于吸引学生的注意力。然后再介绍我国“嫦娥二号”第二次近月制动环月飞行，进一步加深对椭圆的表面映象认识。

设计意图：让学生对椭圆有一个感性的认识，藉此产生学习的兴趣及学习椭圆的必要性。

（二）复习回顾

1.我们是怎样对圆进行定义的？我们研究圆的哪些内容？

2.圆的标准方程是什么？

3.椭圆的定义是什么？

设计意图：带领学生对比圆的相关内容，回顾椭圆定义，对比学习，加深理解。

（三）新课引入

列举生活中的椭圆实例，如椭圆装饰画、椭圆钥匙扣及槽罐车横截面的轮廓，感受椭圆的美。提出问题：如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？引今天出这节课——《椭圆的标准方程》。

设计意图：感受生活中的椭圆，用问题让学生感受到研究椭圆方程的必要性。

（四）建构数学

在直角坐标平面上直线和圆都有相应的方程，从而就可以用代数方法来研究它们的几何性质、位置关系等。

那么椭圆的方程又是什么呢？求轨迹方程的一般步骤是什么呢？（建系、设点、列式、代坐标、化简）。

1探讨建立平面直角坐标系的方案：

方案一：以焦点F1、F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系（让学生说其它的可能建系方案，比较优劣）。

方案二：以焦点F1、F2所在直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系

建系原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 2以方案1为例推导：

以焦点F1、F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系，设焦距为

2c(c0)

，则F1(c,0),F2(c,0)．设P(x,y)为椭圆上任意一点，点P与点F1、F2的距离之和为2a(2a2c)．

1||PF2|2a

②动点P满足的几何约束条件: |PF③坐标化：

(xc)2y2(xc)2y22a

④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

x2y21

移项后两次平方法化简得

22aac2设a2c2b2(ac0)，

(为什么要取平方？) [学生思考，问题由老师来回答] x2y2方程简化为：

221(ab0)

ab问1：要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？

此时引导学生要借助于化归思想，化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将方案一中的x、y位置互换即可。

问2：如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？（学生小组讨论，个别发言）

焦点在x轴的椭圆，x项分母较大.；焦点在y轴的椭圆，y2项分母较大. 问3：辨析焦点在x、y轴上椭圆的标准方程的特点

（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a,b,c满足abc。

（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a,b,c的值。

（4）椭圆的标准方程中，x与y的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。

设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神。最后，通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。抓住数学形式的一致性，体会数学的严谨。

（五）教学应用

练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？（独立思考后回答）

222222x2y2(1)1

1616x2y2(2)1

2516(3)9x225y22250

(4)3x22y21

x2y2(5)22（1m0）mm1

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）经过点P（-2，0）和Q（0，-3）；

方法总结;求椭圆标准方程的方法：定义法、待定系数法、分类讨论（焦点不明，讨论先行）

例2、已知

x2sinAy2cosA1,(0A)表示焦点在y轴上的椭圆，求A的取值范围。

细节提醒：先化标，再分母。

设计意图：充分让学生动手、动脑。及时反馈，强化知识点的学习。掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法。提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程掌握待定系数法在求椭圆标准方程中的应用，深化a、b、c 的关系。

（六）课堂小结

1.椭圆标准方程的推导（轨迹方程的求法）2.求椭圆标准方程的方法（1）定义法（2）待定系数法3.细节（1）焦点位置的判断（分母比大小）；（2）焦点不明，讨论先行；（3）Ax2By21(A,B0,AB),统一设法。

设计意图：通过小结，使学生理清这节课的重难点。

（七）作业布置

完成学案配套作业

（八）教学反思

本节课既有概念的教学，又有椭圆标准方程的推导和应用．在概念学习上，学生可能会受传统教学方式的影响，忽略对概念本质的深入学习，忽视对概念的理解，导致学生在处理相关问题时出现偏差，也使得学生的数学思维的发展受到限制．在椭圆标准方程的推导中，按坐标法求曲线方程的过程，学生存在一定的障碍，具体表现为：如何建立合适的坐标系，学生

在认知上还不是很到位；对于含两个根号的式子的化简，平时接触不多，方程中字母超过三个，且次数高，项数多，计算量较大，学生没有信心和能力自我解决这一难题。