6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质ppt课件课堂实录

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

一、

内容归纳

１、

知识精讲：

⑴一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度

（得y=sin(x+φ)图）,，再把所得各点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的1倍（纵坐标不变）（得y=sin(ωx+φ)图,），再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

(2)振幅Ａ、周期T2、相位ωx+φ、初相φ。

(3) y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=kπ+,即x2k k∈Z.对称中心为:(,0), k∈Z. (4)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的

k2 ,2 kπ+], k∈Z. 223单调递减区间是ωx+φ∈[2 kπ+,2 kπ+], k∈Z. 22单调递增区间是:ωx+φ∈[2 kπ-（5）y=cos(ωx+φ)也类似。

２、

重点、难点：

函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象、性质。及图象与解析式间的互求。

３、

思维方法：

数形结合，数形转化。

４、

特别提示：

y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）中A、ω、φ对图形变换的作用。

- 1 -

二、问题讨论

【例1】P64(2003年春季高考·上海)已知函数

f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）

在一个周期内的图象如图所示。求直线y与函数f(x)图象的所有交点的坐标

〖解〗根据图象得A=2,T=2 0

0 72

3π23

2

71-()=4π,ω=

222xy2sin(),又由图象可得相位移为,. 1222421即y2sinx,根据条件: 42113132sin(x),sinx

242422k2x2k(1)kkZ交点坐标为,3

2k13232练习1:写出下列函数图象的解析式

（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位，再把所得图象上各3点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。

（2）将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位，得到所求函数的图象。

41；倍。图象的32（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+解析式依次为： y=sinx→y=sin(x+x)→y=sin().

233x12解：所求函数图象的解析式为y=sin(),也可以写为：y=sin(x+). 2323（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+。图象的4解析式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+). 4

解：所求函数图象的解析式为y=cos2(x+)也可以写为：y=cos(2x+)。

42

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练习2:若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图形沿x轴向左平移曲线与y个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到21cosx的图象相同，求f(x)的表达式（说明具体过程）

2向上平移

11cosx1 〖解〗ycosx

y22１个单位

向右平移π／２

yy1cos(2x)1

221每个点的横坐标

cosx1 22缩短到原来的１／２倍

〖思维点拨〗本题要注意的是图形变换也是互逆的，

但要注意移的方向。

【例2】(P62)(2002年高考．全国文史类)如图某地

一天从６时至１４时的温度变化曲线近似满足

函数y=Asin(ωx+φ)+b （１）

求这段时间的最大温差．

（２）

写出这段曲线的函数解析式．

Y

温度／0c ３０

２０

１０

０

６

１０

１４

X时间／h 〖解〗（１）由图示，这段时间内的最大温差是３０－１０＝２０（Ｃ）

（2）图中从６时到１４时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象、

０12146，，由图示A=（30-10）/2=10，b=（30+10）/2=20，

28这时y10sin3

x20，将点（6，10）代入上式，可取48综上所求的解析式为y10sin(8x3)20,x[6,14]

4〖思维点拨〗本题虽是实际问题，但实质还是y=Asin(ωx+φ)+b由图得解析式问题。

函数y

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sin(2x)cos2x的最小正周期是------- 3

练习:已知f(x)2cos2x3sin2xa(aR为常数)

（１）

若x∈R，求f(x)的单调递增区间；

（２）

若x0,时，f(x)的最大值为4，求a的值

2〖解〗(1)由f(x)2cos2x3sin2xa(aR为常数)

cos2x3sin2xa12sin(2x)a1使

62k2x2k,解得kxk(kZ), 26236f(x)的单调递增区间为[k,k]kZ

36(2)由f(x)2sin(2x)a1,因此f(x)在[0,]上的最大值为a+3，使62a+3=4, a=1. 例3: .( 05全国（1）)设函数f(x)sin(2x) (0),yf(x)图像的一条对称轴是直线x8

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调增区间；

解：（Ⅰ）x8是函数yf(x)的图像的对称轴，sin(2,kZ. 0,3.

48)1,

4k233,因此ysin(2x).

4432k,kZ.

由题意得 2k2x24235)的单调增区间为[k,k],kZ.

所以函数ysin(2x488532例4.已知函数fx5sinxcosx53cosx，xR. 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知（1）求fx的最小正周期；（2）确定fx的递增区间；（3）此函数是由函数y5sin2x的图像经过怎样的平移得到？

- 4 -

解：（1）531cos2x535553fxsin2xsin2xcos2x

222225sin2xcoscos2xsin5sin2x,最小正周期为333T

(2)2.

22k22x32k2.fx的递增区间为5k,k,kZ

1212（3）函数图像可由y5sin2x向右平移个单位得到。

6〖思维点拨〗利用三角函数的性质。

二、

课堂小结 １、

对于三角函数的变换问题，要注意y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)与

y=sinωx→y=sin(ωx+φ)的区别，不同名的要先化为同名。

2、由图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+b时一般先确定平衡位置，再确定A，ω的大小，确定φ时要先一点代入。

３、

研究高次或多个三角函数组合在一起的函数的性质时，一般先将原函数化成

y=Asin(ωx+φ)+b的形式后再研究。

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