习题4.1优质课教案设计

圆的一般方程（教学设计）

一、教学任务分析

学生已有的相关知识：圆的标准方程，配方法。

这节课的重点内容是研究方程x2y2DxEyF0表示圆的条件。

教科书的开头“思考”栏目设置了两个小问题：给了两个二元二次方程，让学生判断表示什么图形。学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后再加以判断。教科书这样编写，目的在于：（1）使新知识建立在已有的旧知识上，是旧知识的应用与延伸；（2）突破教学难点：形如x2y2DxEyF0的方程在什么条件下表示圆？认识到方程表示圆，但不一定。使学生进一步探究在什么条件下，一定表示圆。

二、教学目标

1、知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件。

（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程。

（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

2、过程与方法：通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

三、教学重难点

重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。

难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。

四、教学情境设计

（一）设计问题，创设情境

我们已经学习了圆的标准方程，请同学们思考：

问题：方程x2y22x4y10表示什么图形？方程x2y22x4y60表示什么图形？

设计意图：体会圆的标准方程和一般方程的联系，初步认识圆的一般方程。

（二）自主探索，尝试解决

我们知道，圆的一般方程它展开后是一个关于x,y二xa2yb2r2，元二次方程：x2y22ax2bya2b2r20.

请同学们思考：是不是圆的标准方程展开都是一个关于x,y二元二次方程：x2y22ax2bya2b2r20.反之关于x,y二元二次方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0都表示圆吗？

设计意图：通过探求一个关于x,y的一般的二元二次方程能否表示圆，认识圆的一般方程的特征。

（三）信息交流，揭示规律

关于x,y二元二次方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0不都表示圆，通过配方：

D2E2D2E24FD2E24F0时才表示圆心

(x)(y)224，只有（1）当为（1DED2E24F，），半径为222的圆。

（2）当D2E24F0时，方程只有实数解x点（DE，）；

22DE，y，即只表示一个22（3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。

设计意图：掌握判断一个关于x,y的一般的二元二次方程表示圆的条件，即圆的一般方程的特征及处理关于x,y的一般的二元二次方程的方法。

（四）运用规律，解决问题

例1：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：圆的一般方程需确定三个系数，而已知条件恰给出三点坐标，不妨试着写出圆的一般方程

王新敞解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0

∵A（0，0），B（1，1），C（4，2）在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：

F0即DEF204D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0，

，∴所求圆的方程为：x2y28x6y0；

配方得：(x4)2(y3)225，所以圆的半径r5，圆心坐标为

(4 , – 3)。

点评：此题主要是让学生进一步熟练掌握求圆的一般方程的方法。

归纳：用待定系数法求圆的方程的一般步骤：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

（3）解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例2、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x1)2y24。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。

解：设点M的坐标是（x , y），点A的坐标是(x0,y0)，由于点B的坐标是（4，3），且M是线段AB的中点，所以xx04y3,y0，于是有22x02x4,y02y3

①；

因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，即x01y0242

②，把①代入②，得(2x41)2(2y3)24，[来源:学科网ZXXK]

33整理得：(x)2(y)21，

2233所以点M的轨迹是以(,)为圆心，半径长为1的圆。

22点评：初步认识求动点的轨迹方程问题，即求动点坐标满足的关系式。

（五）课堂小结，观点提炼

1.圆的一般方程:x2y2DxEyF0(D2E24F0).

2.求圆的一般方程的方法:待定系数法.

3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程

x2y2DxEyF0(D2E24F0).中的D,E,F. 设计意图:通过小结,掌握本节课所学内容和思想方法,掌握圆的一般方程和圆的标准方程各自反应的信息和特征的区别与联系.