1.2.1 中心投影与平行投影公开课教案

1.2.1-1.2.2空间几何体的三视图教学设计

昆明高新区第三中学 唐明超

一、教材分析

（一）课标要求

本节课选自人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书必修2》第一章第2节的第1课时，教材先设置1.2.1介绍中心投影与平行投影，再在1.2.2介绍空间几何体的三视图.《普通高中课程标准》对必修2立体几何部分的总体要求是：“认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力”.而课标对本节课教学内容的具体要求是，通过学习，学生能画出简单几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合体）的三视图，并要求能通过观察三视图识别相应的几何体. （二）教材内容整体分析

其次，教材内容的编排上第1节先介绍空间几何体，并研究几何体的结构特征；第2节学习投影，并在了解投影的基础上会画几何体的三视图和直观图；第3节重点介绍几何体表面积和体积的计算；从第二章开始深入到空间几何体的局部，开始学习点、线、面之间的位置关系.最终的落脚点是培育学生的几何直观，数学抽象、逻辑推理等数学核心素养. （三）教材编排的意图分析

教材的设计思路是想让学生先从观察空间几何体的的结构出发，直观感知立体图形，对空间几何体有一个初步的了解与认识；通过三视图的学习，让学生会从三个角度去分析和认识空间几何体，将几何体平面化，为后续的学习做铺垫；本节课虽然不能达到培养四大能力的全部目的，但是对培育学生的几何直观、数学抽象等核心素养有着重要意义. 二、学情分析

本节课的内容对高中学生而言并不陌生，在九年义务教育阶段的三年级数学教学中开始有所涉及，而且九年级下册第29章专门介绍《投影与视图》，对中心投影和平行投影作过详细介绍，甚至三视图之间边的大小关系“长对正、高平齐、宽相等”以及画三视图应该注意的“能看见的画实线，看不见的画虚线”等作图规范有明确要求.但是，由于间隔时间较长，又缺乏对几何体结构的系统认识与学习，也不排除《投影与视图》在初中学业水平考试中要求较低等原因导致学生对三视图概念的本质掌握不够，对三视图的认识仍然停留在感性认识的初级阶段. 由于所执教班级为普通高中高一年级学生，又是借其他学校的班级上课，事先不允许了解班级学生情况，所以只能凭借对该校历年高考成绩的模糊印象预估所教班级学生属于中等水平甚至偏下；对该层次的学生而言，即使之前学习过相关内容，本堂课也不能忽视对投影相关知识点的梳理，更不能忽视对三视图概念以及三视图作法的强化. 三、本节课的地位和作用

综合以上教材分析和学情分析，本堂课的定位不是投影与视图知识的简单重复，概念的简单梳理，而是要站在更高的起点，深化概念，经历概念的发生与发展过程；从感性认识上升到理性的认识，从定性的角度上升到定量的角度，挖掘空间几何体点、线、面等基本要素的核心——点，

从而提炼三视图的作图关键，以及几何体还原的基本方法和思想.

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四、教学内容设计

（一）教学目标

综合以上分析，本节课的教学目标确定为：1.能在了解投影的基础之上画出简单几何体以及组合体的三视图；2.能根据三视图准确识别对应的空间几何体；3.通过三视图的教学，逐步培养学生空间想象能力、运用图形语言进行交流表达的能力. （二）教学重点

1.深化几何体投影的本质是点的投影；

2.常见的几何体以及组合体三视图的画法总结；

3.借助长方体还原几何体，深化“补体”的思想. （三）难点

1.借助长方体还原几何体，深化“补体”的思想. （四）教法分析

结合实际学情，本节课确定采用探究导学法，设置问题串引导探究，采用任务驱动型教学模式，将课堂真正还给学生，以学生为主体，教师为主导的教学策略，让学生尽可能多的动手实践，尽可能多的思考，让学生经历探究、交流、总结、提升、应用的过程，真正意义上培育核心素养. 五、教学过程

（一）先学后教，复习引入

问题1 请结合九年级所学习的《投影与视图》相关知识，并认真阅读课本11-12页，思考什么是投影？分为几类？分类的依据是什么？

设计意图：投影是学习三视图的前提和基础，基于学生对本部分内容已经学习过的实际学情，以问题的形式布置任务，引发学生的回顾与思考，在回忆的过程中发现问题，再通过阅读教材分析并解决问题. （二）就问题3单点提问两位同学

设计意图：通过提问了解学生对投影概念及分类的掌握情况，进一步摸清学情，好实施下一步的教学.借投影的区别直接点题，干净利落.“只有正投影能较好地反应物体的形状与大小，所以将几何体在正投影下的影子作为几何体的三视图.”

（三）提出问题4“如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c、那么如何得到其三视图呢？”

1.首先追问“三视图指的是哪三个视图？”意在引导学生回顾初中的基础知识；再追问“如图的长方体，三视图分别是什么图形？你是怎么看出来的？”意

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在唤醒学生的感性认识和定性认识，同时摸清学生基础知识掌握情况. 2.结合学生的回答情况，顺势引导学生构造三个正立面作为投影面（类似于教室里相邻的三面墙体）；从学生的感性认识出发，结合动画得出正视图，在正视图的作图过程中完善正视图的概念；接着类比正视图的形成过程得出侧视图和俯视图. 3.提出问题5“为什么要求侧视图要放在正视图的右边，俯视图在正视图的下边？”引导学生去将三个正立面平展开来，从而找到答案. 设计意图：这是本堂的难点之一，也是学生最容易忽略的地方，同时如果这个地方掌握不好，会直接影响到学生对三视图本质的理解，同时对三视图还原几何体埋下隐患. 4.提出问题6“观察长方体的三视图，它们在形状上有什么关系？边长又有什么关系？”引导学生经历观察、归纳、猜想、验证的思维过程，体验知识的发生与发展.但是，如果学生基础薄弱，对平展或者旋转的理解不到位，这里不宜强行推进，点到为止，给学生留下思考的空间. 设计意图：九年级的教学中更多的强调对三视图的感性认识，学生对三视图的理解很大程度上只停留在定性的角度，对具体的数量关系学生掌握不是很好，尤其是数量关系缺乏整体认识，认知水平仅仅停留在观察得出结论，至于更深层次的理解学生基本上没有掌握，对三视图三个相等关系和三个位置的关系更是了解甚少.所以就问题5和问题6而言，教师必须突出三视图摆放顺序不仅仅只是规定那么简单，这里涉及到三个互相垂直的正立面的平展过程；另外本节课的重点一定是由三视图还原几何体，而三视图还原的过程实际上就是展开的逆过程，所以如果不知道怎么平展，又怎么能知道还原的方法. （四）设置自学检测，要求学生作出简单几何体的三视图，并准确标出长宽高. 设计意图：再次唤醒学生的定性认识，要求标明三视图的长宽高，这里衔接初中教材但是不重复初中教材内容，将对三视图的认知上升到一个定量高度.同时，要求学生标明三视图长宽高还可以加深对前边边长关系“正俯长对正、正侧高平齐，俯侧宽相等”的理解.引导学生观察发现柱体的三视图有两个矩形，为后边的三视图还原几何体做好铺垫. 接下来设置练一练环节，选择具有带代表性的组合体先让学生根据所学知识画出对应的三视图，再根据三视图还原几何体，请同学用投影展示交流. 设计意图：组合体选自教材，都是常见的，难度不大，意在循序渐进. （五）设置问题探究. 【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是(

)

设计意图：本堂课以投影开头，以还原几何体结束，对投影相关知识的梳理根本达不到准确理解投影本质的目的，只有放在具体的情景和问题中才能深化概

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念；同时设置例题1还能突出投影的本质是点的投影，启发学生研究三视图的本质是研究几何体上关键点的投影；同时借助正方体为载体，也意在为后边的“借长方体”做出方法铺垫，让知识的螺旋上升显得更自然. 变式1、2、3的设置意在加深对正投影的理解，重在培养学生的抽象思维能力，借助逆向思维将三视图进行还原；同时引导学生总结以上活动经验（视图中如果出现两个三角形，可初步猜测几何体为锥体，再看俯视图，俯视图为几边形就是几棱锥）还原几何体. 另外，不仅要引导学生会判断，更重要的是能还原，而还原的一般方法就是借助长方体为载体，充分体现转化与化归的数学思想.鉴于学生还未学习直观图，一部分学生对正确画出长方体有困难，所以在导学案上教师给出长方体方便学生使用. 【变式1】请尝试作出下图中正四棱锥和正三棱柱的三视图，并准确标出长宽高.

lh

b

aaa

a

正三棱柱

【变式2】某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(

) 正四棱锥

【变式3】请根据三视图及其边长，还原几何体

1332B2

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变式3是变式2的深化，变式1只要求会画，变式2要求能判断，变式3要求能准确还原几何体，达到课标要求. （五）课堂小结，课堂小结还是采用指向明确的具体问题驱动学生思考总结，不是简单的知识清单与方法清单的罗列. 比如： 1.为什么三视图都要求选用正投影？

2.线、面、体都是点的集合，所以几何体投影的本质是点的投影. 3.三视图为什么要规定侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边？

4.三视图还原几何体是画三视图的逆向思维，要善于借助常见几何体的基本结构特征（柱体会有两个矩形，锥体会有两个三角形，球都是圆）进行判断. 5.长方体是由三视图还原几何体的辅助工具，用好“补体--转化与化归的数学思想”能实现快速准确解题. 设计意图：意在通过问题驱动思考，深化本堂课的教学内容. （六）作业设置：1.课本15页1题，3题；2.课本14页思考题；意在驱动学生逐步挖掘教材内容，吃透教材. （七）板书设计

分为两部分，一部分是知识逻辑的板书，另一部分是方法归纳板书.

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