3.1.1 变化率问题教学设计(教案)

变化率问题与导数的概念教学设计

一、内容和内容解析

本节内容选自课程标准实验教科书人教A版选修1-1第三章第一节的内容，具体内容包括：变化率问题、导数的概念。

导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。平均变化率和瞬时变化率是为了导数的引入做过渡性的铺垫，要避免学生把过多的注意力放在“平均变化率”这个概念和它的求解方法上，而是把目光更多的放在体会知识的形成过程上。

二、目标和目标解析

1、

知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数

2、

过程与方法：

①

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

②

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、

情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣

三、教学问题诊断分析 1．吹气球和跳水都是学生非常熟悉生活情境，但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键之一。对于吹气球问题要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然地引导学生建立半径r关于体积V的函数关系式；在吹气过程中要注意观察或者想象，并把实际操作转化为相应的数学语言，比如当吹入差不多大小相同的一口气时，是指气球的体积的增量相同等。

2．

从平均变化率向瞬时变化率的过渡是本节课的一个难点，学生很难一步到位，应对此问题多加引导和铺垫；同时，这个问题所涉及到的“逼近”思想，学生虽然在数学1“二分法”的学习中已经有所接触，但是没有经过反复练习，运用起来还是有一定难度，所以，“逼近”思想的渗透、“逼近”方法的应用将是本节课的一个难点。

四、教学重难点

教学重点：对导数概念形成的理解，关于导数内涵的体会

教学难点：帮助学生理解气球平均变化率问题和“逼近”的思想方法的应用。

五、教学方法：学生自主学习完成预习学案，课上教师点拨总结升华

六、教学过程：

教学设想

预习学案是以问题的方式引课前完成预习学案（后附）

导学生自主完成学习，找出

这节课的疑惑

课内探究学案

合作探究：

探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单2位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态? 探究任务二：导数

1.

通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念 设计意图

1.

培养学生自主学习和解决问题的能力。

2.教师可以在课上有针对的进行点拨和指导

s问题2：

瞬时速度是平均速度当t趋近提供具体背景。

t于0时的 得导数的定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)f，我们称它limlimx0x0xx为函数yf(x)在xx0处的导数，记作2.

循循善诱，切入本节课的主题，激发学生学习的兴趣. 3.学生合作学习解决预习中的疑惑

f(x0)f(x0)limx0或y|xx0即f(xx)f(x0)

x注意：(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在[来源:Z*xx*k.Com]

(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可以为0

(3)y是函数yf(x)对自变量x在xx范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率

(4)导数f(x0x)f(x0)是函数x0xyf(x)在点x0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程f/(x0)lim度.

交流展示：学生以小组为单位交流探究结果,并完成学案。

1.

变化率问题：

（1）定义式：

1.

梳理本节课知识点使学生的思路更加清晰

2.

强化知识点，区分所学概念，有利于学生对知识点的理解

3.

微体验以问题的形式帮助学生理解概念，夯实基础。

1.

展示本组的讨论结果

2.

各组之间的交流学习

3.

激发学生的学习热情学会表达

4.

培养学生的学习能力

5.

教师在学生的展示过程中针对不足进行有效的点拨，提高课堂实效

6.步步设问，环环相扣，以具体问yfx2-fx1=

xx2-x1知识梳理

y（教师主导，（1）定义式：lim= x0x学生作答）

f(x0Δx)f(x0)



y

limlimx0x0

x

x

（2）实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值

（3）作用：刻画函数在某点处变化的快慢

微体验（见ppt）

变化率

例1 过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和例题展示与点评

Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率. （2）实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比

（3）作用：刻画函数在区间x1，x2上变化的快慢

2.

函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率：

2例2 已知函数f(x)x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001] 导数：

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：c）为f(x)x27x15(0x8). 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

[来源:学科网ZXXK]

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢. 2例2 已知质点M按规律s=2t+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，

0题为载体, 使例题的作用更突出.给予学生充足的时间和空间，大胆放手，激励学生主动地探索，带领学生深入探究导数内涵，体验数学在实际生活中的应用.

s. ts(2)当t=2，Δt=0.001时，求. t(1)当t=2，Δt=0.01时，求(3)求质点M在t=2时的瞬时速度

课堂规律总结

（学生合作整理，教师补充）

当堂检测

1.

求平均变化率的步骤

2.

求瞬时速度的步骤

3.利用定义求函数在某点的导数的两个注意点

1. y2x1在(1,2)内的平均变化率为在讨论与点评中总结规律使内容得到升华，提高学生解决问题和总结问题的能力

落实本节课的学习内容

（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

2. 质点运动动规律st23，则在时间

(3,3t)中，相应的平均速度为（ ）

9

A．6t B．6t

t

C．3t D．9t

3. 一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么lims为（ ）

t0tＡ．从时间t到tt时，物体的平均速度； Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t时物体的速度； Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度

4. yx2在

x=1处的导数为（ ）

A．2x B．2 C．2x D．1

5.如果质点A按规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为

习题3.1A组第2、3、4 题

（思考：从函数的图象上看，平均变化率作业

f(x2)f(x1)表示割线的斜率，那么x2x1瞬时变化率lim

评价设计

x0f(x2)f(x1)表示什么呢？

x2x1这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程.提出问题、通过计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习.

板书设计

变化率与导数的概念

投影

变化率

1.

定义

瞬时变化率

1.

定义

2.

实质

3.

作用

求变化率的步骤

2.

实质

3.

作用

求瞬时变化率的步骤

利用定义求导数的需注意

（1）

（2）

前黑板

后黑板

变化率与导数的概念

变化率

例1 例2 瞬时变化率

例1 例2

附件：变化率问题

课前预习学案

一、

预习目标

了解平均变化率的定义。 二、预习内容

[问题1]

在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)2h 与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态? ot

在0t0.5这段时间里，v=_________________ 在1t2这段时间里，v=_________________ 在t1tt2这段时间里，v=_________________ [问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。

ff(x2)f(x1)[问题4]

平均变化率表示什么? xx2x1f(x2)

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

△x= x2-x1

△y =f(x2)-f(x1) f(x1) x1 B A x2

导数的概念

课前预习学案

预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。

预习内容：

1：气球的体积V与半径r之间的关系是r(V)33V，求当空气容量V从0增加到1时，气4球的平均膨胀率.

2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：h(t)4.9t26.5t10. 求在1t2这段时间里，运动员的平均速度.

3：求2中当t=1时的瞬时速度。

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容