习题4.1教案推荐

4.1.1

圆的标准方程

学习目标

1.会推导圆的标准方程. 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径. 3.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程. 4.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程

一、设计问题,创设情境

前面我们已经学习过直线方程,初中也学习过圆的一些知识,请同学们思考: 问题1:在平面直角坐标系中,两点能确定一条直线,一点和直线的倾斜角也能确定一条直线.那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢?

问题2:根据前面我们所学的直线方程的知识,应该怎样确立圆的方程呢?

二、学生探索,尝试解决

若设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的方程. 三、信息交流,揭示规律

1.在直角坐标系中,当

与

确定后,圆就唯一确定了,因此,确定圆的基本要素是

. 2.在平面直角坐标系中,若一个圆的圆心A(a,b),半径长为r,则圆的标准方程为

.推导的步骤是

.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合方程,即

;反之,若点M的坐标适合方程,这就说明

与

的距离为r,即点M在圆心为A的圆上. 3.圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程为

. 4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满足条件

;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满足条件

;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满足条件

;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满足条件

. 5.△ABC外接圆的圆心即为外心,即

的交点. 四、运用规律,解决问题

6.写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径为3.

(2)圆心为(2,3),半径为

.

(3)经过点(5,1),圆心在(8,-3).

7.根据圆的方程写出圆心和半径: (1)(x-2)2+(y-3)2=5;

(2)(x+2)2+y2=(-2)2.

8.写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-

,-1)是否在这个圆上.

总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”) 9.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?) 10.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?) 五、变练演编,深化提高

同学们仿照上述例题,自己试着编几道写、求圆的标准方程,或判断点与圆的位置关系的题目. 六、信息交流,教学相长

(请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面) 七、反思小结,观点提炼

1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2

2.求圆的标准方程的方法:待定系数法. 3.要求一个圆的标准方程,需要三个条件:圆心的横坐标、纵坐标和半径. 4.点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆外,点在圆内. 参考答案

三、1.圆心

半径

圆心和半径

2.(x-a)2+(y-b)2=r2

建系、设点、列式、化简

(x0-a)2+(y0-b)2=r2

点M

圆心

3.x2+y2=r2

4.

>r2

(x0-a)2+(y0-b)2

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

5.△ABC三边垂直平分线

四、6.(1)x2+y2=9 (2)(x-2)2+(y-3)2=5 (3)(x-8)2+(y+3)2=25 7.(1)圆心(2,3),半径

(2)圆心(-2,0),半径2 8.圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25 把点M1(5,-7)坐标代入圆的方程:(5-2)2+(-7+3)2=9+16=25所以点M1(5,-7)在圆上. 把点M2(-

,-1)坐标代入圆的方程:(-

-2)2+(-1+3)2=13+4

≠25,所以点M2(-

,-1)不在圆上. 9.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则:

-

-

-

-

-

解得

-

-

-

-

所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 10.(1)利用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要能构造三个方程求出a,b,r便可. (2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小. 圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆心C与A,B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上,又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|. 解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,-2)代入得

又圆心在l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0.联立方程组

解得a=-3,b=-2,r=5. 所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 解法二:因为A(1,1)和B(2,-2),所以线段AB的中点坐标为(

,-

),直线AB的斜率为kAB=

-

-

=-3,故线段

-

- -

AB的垂直平分线方程为y+

(x-),即x-3y-3=0.由

解得

-

-

-

因此圆心C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|=

=5,所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 点评:比较解法一与解法二,不难看出解法二直接明了,思路明确,易于理解,而解法一则笼统,较繁.圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷,这也是解析几何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应用.