1.1.1 命题教案设计

1.1.1

四种命题

学习目标：1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．

知识点一

命题的概念

思考

在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．

(1)这幅画真漂亮！

(2)求证3是无理数；

(3)菱形是平行四边形吗？

(4)等腰三角形的两底角相等；

(5)x＞2012；

(6)若x2＝20122，则x＝2012. 答案

(1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．

梳理

(1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题．

(2)分类

真命题：判断为真的语句命题

假命题：判断为假的语句

知识点二

命题的构成形式

1．命题的一般形式为“若p则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．

知识点三

四种命题及其关系

1.思考

初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

2.四种命题间的关系

3.四种命题间的真假关系

原命题

真

逆命题

真

否命题

真

逆否命题

真

真

假

假

假

真

假

假

真

假

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4 例1

判断下列语句是不是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；

(5)一个数的算术平方根一定是负数；

(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．

π解

(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．

(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

例2

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；

2→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形．

其中为真命题的是________．(填序号) 答案

①③④

π解析

结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sinx的对称轴方程为x＝＋kπ，2→→→→→→k∈Z，故③为真命题；又因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cosB>0，故得cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．

例3

把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

解

(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0. 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0. 逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2. (3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．

逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．

否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．

逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．

例4

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

解

(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．

(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．

例5

证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 证明

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

跟踪训练1

下列语句是命题的是________．(填序号) ①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！

跟踪训练2

判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：

(1)2是无限循环小数；

(2)x2－3x＋2＝0；

(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

(5)当x＝4时，2x＋1＞0. 跟踪训练3

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

跟踪训练4

下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①“正三角形都相似”的逆命题；

②“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

跟踪训练5

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

跟踪训练1答案

①②③

跟踪训练2解

(1)是假命题．(2)不是命题

(3)不是命题．

(4)假命题．(5)真命题．

跟踪训练3解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

跟踪训练4答案

②③

①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．

②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

1∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－<0.故为真命题．

4③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．

∵x不是无理数，∴x是有理数．

又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．故为真命题．

所以真命题是②③. 跟踪训练5证明

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．