复习参考题ppt配套教案和课堂实录

立体几何与空间向量

本章内容主要包括：空间几何体的结构、简单几何体的表面积和体积、空间中各种关系的证明、空间向量的应用．

近几年对本章内容的考查，主要表现在：①三视图与表面积、体积相结合，考查对空间几何体的认识；②求角，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角；③求距离，常见的是点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离；④直线和平面的各种位置关系的判定和性质．对这些内容的考查，着重考查空间想象能力，要求“四会”：①会画图；②会识图；③会析图；④会用图．

预测高考仍以客观题考查对空间图形的认识，以及面积、体积的计算，以解答题考查空间中直线与平面位置关系的证明．客观题和解答题都会是中等难度．

在复习立体几何时应当注意以下五个方面：

1．直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题或填空题．复习中首先要清楚相关的概念、判定、性质定理，其次在否定某些错误的判断时，能举出适当的反例．另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平时的训练要注意举一反三．

2．证明空间线、面平行或垂直．已知联想性质，由求证联想判定，寻找求证思路．通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形(如正方体、正四面体等)，以便联想有关的平面几何或立体几何知识．培养根据题设条件的性质适当添加辅助线(或面)的能力，掌握平行或垂直的化归方法．

3．计算角与距离的问题．求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离．解题原则是一作、二证、三求解(即作图、证明、求解)．熟练掌握异面直线所成角、线面角、二面角、点面距离的计算方法．

4．简单的几何体的面积与体积问题．熟记特殊几何体的现成的公式．会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用．

5．能熟练使用向量法研究空间中涉及直线和平面的各种问题．借助空间向量的运算，利用基向量法和坐标法，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质，能合理选取空间向量及合理建立空间直角坐标系，从而灵活运用向量法论证空间中平行与垂直两类关系，能求解空间中的角与距离，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、线面角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题．

第八章

立体几何与空间向量

第一节

空间简单几何体的结构

1

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

知识梳理

空间简单几何体及其结构

一、柱、锥、台、球的结构特征

1．柱体．

(1)棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点(如图a)．

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线(如图b)．

棱柱与圆柱统称为柱体．

2．锥体．

(1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱(如图c)．

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面(如图d)．

棱锥与圆锥统称为锥体．

3．台体．

(1)棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做2

棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点(如图e)．

(2)圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴(如图f)．

圆台和棱台统称为台体．

4．球及其有关概念．

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径(如图g)．

用一个平面去截一个球，截面是圆面．球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．

球的任意截面(不是大圆面)的圆心与球心的连线垂直于截面，若设球的半径为R，截面圆的半径为r，截面圆的圆心与球心的连线长为d，则d2＝R2－r2. 5．组合体．

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体(如图h)．

二、特殊的棱柱、棱锥、棱台

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱．

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．

正棱锥：底面是正多边形，棱锥的顶点在底面上的射影是正多边形的中心．各侧面是全等的等腰三角形．

正棱台：两底是正多边形，且两底中心连线垂直于底面的棱台叫做正棱台．也可以认为它是由正棱锥截得的棱台．正棱台各侧面是全等的等腰梯形．

三、几种常见凸多面体间的关系

四、一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质

3

名称

图形

棱柱

直棱柱

正棱柱

有两个面互相平行，而其余每相邻两个面侧棱垂直于底面的底面是正多边形的定义

的交线都互相平行的棱柱

直棱柱

多面体

侧棱

平行且相等

平行且相等

平行且相等

侧面的形状

平行四边形

矩形

全等的矩形

对角面的形状

平行四边形

矩形

矩形

平行于底面的

与底面全等的多边与底面全等的正多与底面全等的多边形

截面的形状

形

边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体

相交于一点但不一定相等

三角形

底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形的中心

相交于一点且相等

全等的等腰三角形

等腰三角形

与底面相似的正多边形

高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

延长线交于一点

梯形

梯形

与底面相似的多边形

由正棱锥截得的棱台

相等且延长线交于一点

全等的等腰梯形

等腰梯形

与底面相似的正多边形

两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

定义

侧棱

侧面的形状

对角面的形状

三角形

平行于底面

与底面相似的的截面形状

多边形

其他性质

基础自测

1．下列命题中正确的是(

) A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

4

C．棱台的底面是两个相似的正方形

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

2．下面多面体中有12条棱的是(

) A．四棱柱

B．四棱锥

C．五棱锥 D．五棱柱

3．在下图的几何体中，有______个是柱体．

4．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正五边形，其他面都是全等的矩形，则这个几何体的名称是____________．

1．到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点(

) A．有且只有1个

B．有2个

C．有3个

D．有无数个

2．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱

柱对角线的条数是(

) A．20

B．15 C．12 D．10

1．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.

5

2．下列结论正确的是(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

第二节

空间简单几何体的三视图和直观图

1．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易的组合体)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

2．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间

图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

3．会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．

知识梳理[来源:www.shulihua.net]

一、有关投影的概念

投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做________．把光线叫做________，把留下物体影子的屏幕叫做________．

中心投影：把光由点向外散射形成的投影，叫做________ 平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做______．平行投影的投影线是________．

正投影：在平行投影中．投影线正对着投影面叫做________，否则叫做________．在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面6

图形的________是完全相同的．

二、空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的轮廓线．

它具体包括：

1．正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度；

2．侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度；

3．俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的长度和宽度．

三、三视图的画法规则

1．能看见的轮廓线和棱用________表示，不能看见的轮廓线和棱用________表示．

2．高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐．

长对正：主视图与俯视图的长应对正．

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等．

三视图的排放顺序：先画主视图，将左视图画在主视图的________，将俯视图画在主视图的________(如上图)．

四、空间几何体的直观图

在平面中画出的几何体的模拟直观视觉效果图，有较强的立体感．画多面体的直观图常用的画法是斜二测画法，旋转体的直观图多采用正等测画法．

五、空间几何体直观图的斜二测画法规则

1．在底面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°或135°，它们确定的平面表示水平平面．

2．已知底面图形中与x轴、y轴平行的线段，在直观图中分别画成与x′轴、y′轴平行的线段．

3．已知底面图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度，而平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

4．过O′画一条与y′垂直的直线O′z轴，表示竖直方向，与竖直方向平行的线段，画成与O′z平行且长度不变．

基础自测

7

1．(2013·肇庆一模)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(

)

662A. B. C. D.2 4222．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(

)

3．下图(1)所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图(2)中的(

) 图(1)

图(2) 4．如图是一个三棱锥的直观图和三视图，其三视图均为直角三角形，则b等于________．

8

1．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

2．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．

[来源:www.shulihua.net]

1．已知一几何体如左图所示，则该几何体的正视图和侧视图可能是(

) 9

[来源:www.shulihua.net]

[来源:数理化网]

2．(2013·揭阳一模)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正1方形，且体积为.则该几何体的俯视图可以是(

) 2

第三节

空间简单几何体的表面积和体积

10

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式不要求记忆公式.

知识梳理

一、空间简单几何体的侧面展开图的形状

几何体名圆柱

圆锥

圆台

直棱柱

称

侧面展开图[来源:www.s矩形

扇形

扇环

矩形

hulihua.net]

形状

正n棱锥

正n棱台

n个全等的等腰三角形

n个全等的等腰梯形

侧面展开图

[来

源:www.shulihua.net]

二、空间简单几何体的侧面积和表面积

1．直棱柱：S侧＝____________(C为底面周长，h是高)，S表＝________.[来源:www.shulihua.net]

2．正棱锥：S侧＝________________(C为底面周长，h′是斜高)，S表＝________. 3．正棱台：

S侧＝__________(C′，C为上、下底面周长，h′是斜高)，S表＝________________. 4．圆柱：S侧＝________(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________. 5．圆锥：S侧＝________(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________. 6．圆台：S侧＝______(C′，C分别是上、下底面周长，r′，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长)，S表＝______. 7．球：S表＝________(R是球的半径)．

三、空间简单几何体的体积公式

1．柱体体积公式：V柱＝______，其中h为柱体的高．

2．锥体体积公式：V锥＝______，其中h为锥体的高．

3．球的体积公式：V球＝______，其中R表示球的半径．

四、长方体、正方体的对角线长、表面积和体积公式[来

11

源:www.shulihua.net]

1．长方体表面积公式：S＝2(ab＋bc＋ac)，长方体体积公式：V＝________. 2．正方体表面积公式：S＝________，正方体体积公式：V＝________. 3．长方体对角线长等于a2＋b2＋c2，正方体对角线长等于________．

基础自测

1．(2013·深圳一模)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是(

) 12832A．32π、π

B．16π、π

331616C．12π、π D．8π、π

33

2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

)[来源:www.shulihua.net]

A．3πa2

B．6πa2 C．12πa2

D．24πa2

3．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．

12

4．半径为a的球放在墙角，同时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到墙角顶点的最短距离是________.

1．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(

) 1416 C. D．6 332．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

A．4 B.

1．(2013·梅州一模)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a＝(

) 13

23 C.3 D.

222．(2013·汕头二模)某三棱锥的三视图如上页图所示，该三棱锥的体积是(

) A.2 B.

402055041 B. C. D.

33333．已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π，则长方体的体积是(

) A．72 B．96 C．100 D．120 第四节

空间点、直线、平面之间的位置关系

A.

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的四个公理和空间等角定理.

知识梳理

14

一、平面的基本性质

1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

2．公理2：经过________________的三点，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条________的公共直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

二、直线与直线的位置关系

1．位置关系的分类．

(1)共面直线：________或________；

(2)异面直线：不同在________一个平面内的两条直线．

2．异面直线所成的角．

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__________________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

(2)范围：________. 3．直线与平面的位置关系有________、________、________三种情况．

4．平面与平面的位置关系有______、______两种情况．

5．平行公理：平行于同________的两条直线互相平行．[来源:www.shulihua.net]

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．

基础自测

1．已知A，B，C为空间三点，经过这三点(

) A．能确定一个平面

B．能确定无数个平面

C．能确定一个或无数个平面

D．能确定一个平面或不能确定平面

2．对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是(

) A．如果m⊂α、n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α、n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α、n∥α，m，n是共面直线，那么n∥m

D．如果m⊂α、n∥α，m，n是共面直线，那么n与m相交

3．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是__________．

4．(2013·惠州二模)给出命题：

①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行平面α；③两异面直线a，b，如果a⊥平面α，那么b不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线．

上述命题中，真命题的序号是__________________．

15

1．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝(

) A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

1．(2013·增城调研)给出三个命题：

(1)若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行．

(2)若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行．

(3)若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行．

其中正确命题的个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA＝2，∠AOP＝120°.[来源:www.shulihua.net]

(1)求三棱锥A1APB的体积；

(2)求异面直线A1B与OP所成角的余弦值．

第五节

空间图形的平行关系

1.认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理．

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

16

知识梳理

一、直线与平面的位置关系

位置关系

直线在平面内

直线不在平面内

图示

表示方法

公共点个数

无数个

没有[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]

一个

a⊂α

直线与平面平行

a∥α

[来源:www直线.s与平hu面相li交

hua.net]

直线与平面斜交

[来源:www.shulihua.net]

a∩α＝A 直线与平面垂直

a⊥α

一个

二、空间两个平面的位置关系

位置关系

图示

两平面平行

表示法

α∥β

公共点个数

没有公共点

两平面相交

α∩β＝l 无数个

三、直线和平面平行的判定方法

类别

语言表述

图示

如果一条直线与一个平面没有公共点，那么称这条直线与这个平判定

面平行

如果平面外的一条直线平行于该平面内的一条直17 字母表示

应用

a∩α＝∅⇒a∥α

证直线与平面平行

a∥b

a⊄α

⇒a∥α

b⊂α

线，那么这条直线平行于这个平面

如果两条直线互相垂直，且其中一条直线垂直于一个平面，第二条不在这个平面内，那么第二条直线平行于这个平面

四、两个平面平行的判定

类别

语言表述

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

如果一个平面内有两条相交直线判定

分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行

垂直于同一条直线的两个平面平行

a⊥b

b⊥α

⇒a∥α

a⊄α

图示

a⊂α

b⊂α

a∩b＝P⇒α∥β

a∥β

b

α

a∥，βb⊂a′,b′⊂β

a∩b＝P

⇒α∥β

a∥a

b∥b′

a⊥α

⇒α∥β

a⊥β

字母表示

应用

证两平面平行

字母表示

应用

五、直线与平面平行的性质

类别

语言表述

图示

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的性质

平面和这个平面相交，那么这条

直线和交线平行

六、两个平面平行的性质

类别

语言表述

图示

如果两个平面平行，那么其中一性质

个平面内的直线必平行于另一个

平面

18

证直线和直线平行

a∥α

a⊂β

⇒a∥l

α∩β＝l

字母表示

应用

证直线和

平面平行

α∥β

⇒a∥β

a⊂α

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

α∥β

γ∩α＝a ⇒a∥b

γ∩β＝b

证两条直

线平行

α∥β

⇒a⊥β

证直线和

平面垂直

a⊥α

基础自测

1．(2013·山东省高考冲刺预测)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(

) A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2 2．(2013·温州检测)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是(

) A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β

B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β

C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

D．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

4.设a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

a∥c⇒a∥b；

①b∥c②③④⑤α∥γ⇒a∥α. ⑥a∥γ其中正确的命题是________(将正确的序号都填上)．

19

a∥γ⇒a∥b；

b∥γα∥c⇒α∥β；

β∥cα∥c⇒a∥α；

a∥cα∥γ⇒α∥β；

β∥γ

1．(2013·安徽卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

1①当0

21②当CQ＝时，S为等腰梯形；

231③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；

433④当

46⑤当CQ＝1时，S的面积为. 22．(2013·辽宁模拟)如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．

(1)求证：MN∥平面CDEF；

(2)求多面体ACDEF的体积．

1．平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

20

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．

(1)求证：BD⊥EF;

(2)试确定点F在线段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并说明理由．

第六节

空间图形的垂直关系

1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

知识梳理

一、空间图形的垂直关系

直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直．

二、直线与直线垂直

定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直．

三、直线与平面垂直

1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面．

2．直线与平面垂直的判定. 类别

语言表述

应用 证直线和[来如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条判定

源:www.直线和这个平面垂直(定义)[来源:www.shulihua.net]

shulihua.net]

21

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 (判定定理)

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

3.直线与平面垂直的性质. 类别

语言表述

图示

如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂性质

直

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行

平面垂直

[来源:www.shulihua.net]

证直线和

平面垂直 证直线和

平面垂直 应用

证两条

直线垂直

证两条

直线平行

字母表示

a⊥α⇒a⊥b b⊂α

a⊥α⇒a∥b b⊥α

四、二面角

1．定义：从一条直线AB出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αABβ，AB叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面．

2．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把∠MON叫做二面角αABβ的平面角，用它来度量二面角的大小．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

五、两个平面垂直的判定和性质. 1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2．两个平面垂直的判定和性质

22

类别

语言表述

根据定义，证明两平面所成的二面角是直二面角

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

图示

字母表示

∠AOB是二面角αaβ的平面角，且∠AOB＝90°，则α⊥β

证两个平

面垂直

应用

判定

a⊂α⇒α⊥β

a⊥βα⊥β，∠AOB是二面角证两条直

αaβ的平面角，则线垂直

∠AOB＝90°

性质

α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥la⊥β

⇒证直线和

平面垂直

基础自测

1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(

) A. m∥n

B. n⊥m

C. n∥α D. n⊥α

2．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

3．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是________．

①若l⊥α，则l与α相交；

23

②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；

③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；

④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.

1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(

) A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l 2．(2012·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

1．(2013·惠州一模)已知集合A、B、C，A＝{直线}，B＝{平面}，C＝A∪B.若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列四个命题：

a∥ba⊥ba∥b①⇒a∥c，②⇒a∥c，③⇒a⊥c，

c∥bc⊥bc⊥ba⊥b④c∥b

⇒a⊥c. 其中所有正确命题的序号是________．

2．(2013·珠海一模)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE；

(3)求二面角APDC的平面角的正弦值．

第七节

空间坐标系、空间向量的概念及运算

24

1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．

2．会推导空间两点间的距离公式．

3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及

其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

知识梳理

1．空间直角坐标系及有关概念．

(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做________．x轴，y轴，z轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做________．

(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为________正向，也称这样的坐标系为右手系．

(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．

3．空间向量的概念及运算．[来源:www.shulihua.net]

空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循______________________，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．

4．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理．

(1)共线向量定理．

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使____________________．

推论

如图所示，点P在直线l上的充要条件是：→OP＝→OA＋ta，（*）

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取→AB＝a，则（*）可化为→OP＝25

→. ________________或→OP＝(1－t)→OA＋tOB

(2)共面向量定理的向量表达式为：

p＝________________________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．推论的表达式为→MP＝x→MA＋y→MB或对空间任意一点O有，→OP＝→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝______. ________________________或→OP＝xOM(3)空间向量基本定理．

如果向量e1，e2，e3是不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝________________，

把e1，e2，e3叫做空间的一个基底．

5．空间向量的数量积及运算律．

(1)数量积及相关概念．

→→①两向量的夹角．已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是π______________，若a，b＝，则称a与b__________，记作a⊥b. 2②两向量的数量积．已知空间两个非零向量a，b，则____________________叫做向量a，b的数量积，记作__________，即______________________．

(2)空间向量数量积的运算律．[来源:www.shulihua.net]

①结合律：(λa)·b＝____________________；②交换律：a·b＝__________________；③分配律：a·(b＋c)＝____________________. 6．空间向量的坐标表示及应用．

(1)数量积的坐标运算．

若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝__________________. (2)共线与垂直的坐标表示．

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a∥b⇔a＝λ

b⇔



，

，

.

②a⊥b⇔______________＝0⇔____________(a，b均为非零向量)．

(3)模、夹角和距离公式．

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝__________________，[来源:www.shulihua.net]

26

a，b＝a·b＝__________________________. |a||b|若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|→AB|＝____________________. 基础自测

1．已知→AB＝(2,4,5)，→CD＝(3，x，y)，若→AB∥→CD，则(

) A．x＝6，y＝15 15B．x＝3，y＝

2C．x＝3，y＝15 15D．x＝6，y＝

22．如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中1点，则(→AB＋→BC＋→CE＋→ED)化简的结果为(

) 2A.→BF

B.→EH C.→HG D.→FG

3．设点B是点A(1，－1,1)关于原点的对称点，则点B到原点的距离为________．

4．在空间直角坐标系中，点A(1，1,1)与点B(2,2，－1)之间的距离为________．

1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 2．(2012·上海卷)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，AD＝22，PA＝2，求：

27

(1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

→两两的1．(2013·舟山月考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量→AB、→AD、AA1→|＝3，则|→夹角均为60°，且|→AB|＝1，|→AD|＝2，|AAAC|等于(

) 11

A．5

B．6 C．4 D．8 2．(2013·江西模拟)已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．

第八节

空间向量的应用(一)

理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值.

知识梳理

一、异面直线所成的角

1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，把a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上．

π2．异面直线所成的角的取值范围：0，. 23．求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法．

二、直线和平面所成的角

28

1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．

特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为0°角．

π2．直线和平面所成角的取值范围：0，. 2三、二面角

1．定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为αlβ. 2．二面角的平面角．

(1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．

(2)一个平面垂直于二面角αlβ的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB就是αlβ的平面角．

说明：①二面角的平面角范围是[0，π]；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直．

3．二面角大小的求法：①几何法；②向量法．

S′4．求二面角的射影公式：cos θ＝，

S其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S′是图形F在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的平面角大小．

四、三种空间角的向量法计算公式

a，b|(其中a，b分别是1．异面直线a，b所成的角θ：cos θ＝|异面直线a，b的方向向量)．

29

a，n|. 2．直线a与平面α(其法向量为n)所成的角θ：sin θ＝|m，n|，其中m，n为两个面的法3．锐二面角θ：(法一)cos θ＝|向量．

a，b|，其中a，b是分别在两个面内且与棱都垂(法二)cos θ＝|直的向量．

基础自测

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(

) A．120°

B．60° C．30° D．60°或30°

92．(2013·山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底4面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(

) A.5ππππ B. C. D.

12346

3．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，侧棱AA1＝2，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为________．

4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB＝FB＝1. 则：(1)二面角CDEC1的余弦值为________；

(2)直线EC1与FD1所成角的余弦值________.

30

1. (2012·陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(

)

55253A.

B. C. D.

53552．(2013·广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC、AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝3. (1)证明：A′O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．

1．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3. (1)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角ABEP的大小．

2．(2013·深圳一模)如图1，⊙O的直径AB＝4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F为BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)．

(1)求证：OF∥平面ACD；

(2)求二面角CADB的余弦值；

31

(3)在BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

第九节

空间向量的应用(二)

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系．

2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．

3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用．

知识梳理

一、利用向量证明平行

1．证线线平行(面面平行)方法：a＝λb(b≠0) ⇔a∥b. 2．证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使c＝xa＋yb.(法二)证平面的法向量与该直线垂直．

二、利用向量证明垂直

1．证线线垂直方法：a·b＝0⇔a⊥b. 2．证线面垂直方法：转化为证线线垂直．

三、利用向量求距离

1．求点到平面的距离：已知AB为平面α的一条斜线段，C为点A在平面→AB·n→α的射影，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离d＝AC＝.

|||||n|2．求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求．

3．求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求．

4. 32

两条异面直线距离：分别在直线a，b上取定向量a，b，求与向量a，b都垂直的向量n，分别在a，b上各取一个定点A，B，则异面直线a，b间的距离d→|AB·n|等于→AB在n上的射影长，即d＝. |n|

基础自测

1．已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(

) A．若a∥n，则a∥α

B．若a·n＝0，则a⊥α[来源:www.shulihua.net]

C．若a∥n，则a⊥α

D．若a·n＝0，则a∥α

2．向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(

) A．a∥b，b⊥c

B．a∥b，a⊥c

C．a∥c，a⊥b D．以上都不对

3．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是________．

4．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若在BC边上存在一点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是______.

1．(2012·大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 (

) A．2 B.3 C.2 D．1

2．(2013·北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC；

(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；

BD(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

BC11．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(

) 33

6621a

B.a C.a D.a 36222．(2013·梅州二模)如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AA1＋AB＋AC＝3，AB＝AC＝t(t＞0)．

(1)当AA1＝AB＝AC时，求证：A1C⊥平面ABC1；

10(2)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．

10A.

34