3.1.1 空间向量及其加减运算优质课教案推荐

核心素养中直观想象素养的培养

空间向量及其线性运算教学为例

绍兴市高级中学林永

核心素养是2016年底新课程标准提出的数学教学需要关注的学生的综合发展素养，跟以往传统课程标准不同的是，核心素养更为关注的是学生对于数学知识与情感态度价值观的整合，让这种整合体现在学生的素养中。核心素养与以往双基教学的不同，核心素养强调了我国数学教学正在从一味的知识和技能方向向应用方向的转变，强调了数学思想在教学中的主导作用，这成为了我们教学应该关注的新视角。

直观想象素养是一种围绕几何思维解决问题的能力素养。中学数学中数形结合思想是解决问题的重要思想之一，“空间向量及其线性运算”这节课的设计中，创设探究情境，精心设计问题，引导学生观察和思考，在数学活动培养学生的“直观想象”。 学情分析

本节内容总体来说比较简单,学生理解接受的难度也不大。学生有了平面向量和立体几何初步知识的基础,很容易把向量及其运算推广到空间向量。但是仍要一步步地进行。由于现在研究的范围已由平面扩大到空间,两个不平行向量确定的平面已不是一个平面,而是互相平行的平行平面的集合。所以,需要让学生在空间中一步步验证运算法则和运算律。一方面通过复***面向量学习空间向量,另一方面通过学习空间向量进一步培养学生的空间观念。就学生而言,生活中的许多体验都与空间向量有关,只是尚未将其明朗化,概念化,这就需要一个从体验到概念,从无名到有名,从感性到理性的引导过程。最终达到利用空间向量解决立体几何问题乃至其它实际问题的目的。

重点难点

教学重点:空间向量的有关概念,空间向量的加减运算及其运算性质

。

教学难点:1、运用类比的方法,理解向量及其运算由平面向空间推广的过程

。

2、空间向量的加减运算及其运算性质

。

教学过程片段实录

1情境创设问题引入

情境1、如图1海面上有三个景点O,A,B，一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B. 思考题1：那么游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示这个过程?

思考题2：如果游客还要到景点B下100米深处的海底世界D处游玩，如图2，那它实际发生的位移是什么?又如何表示呢?

思考题3:比较①、②，它们都是向量的关系式，有什么不同? 设计意图及效果评价:图1中的引入情境于学生而言，是非常熟悉的一个旅游问题。课堂上追问学生，若到图2海底世界D处游玩又该如何表示，既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算作了铺垫。课堂教学实际中起到了很好的引入效果。

思考题4：一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是600，且大小均为200N，问钢板将如何运动？

设计意图：这是课本上的例子，学生由于没有学过空间向量加法也就肯定不能求出合力，也就无法回答问题4，让学生体验概念的内涵，这样学生的胃口就被吊起，学生的求知欲被完全激发出来。

师:答不出来不要紧，对思考1,2,3的回答说明同学们对前面的知识掌握的很扎实，为了解决思考4，接下来我们来学习研究的内容—空间向量及其线性运算(板书课题)。

2新课讲解

师：在新课之前我们回顾一些知识。

回顾1:我们什么时候学习过向量的内容? 生：必修4第二章。

回顾2:这个学期我们刚刚研究过立体几何，当时研究立体几何时经常与哪一部分内容比较? 生：平面几何。

回顾3:在处理立体几何的问题时我们有一个重要的“法宝”是什么? 生：空间问题平面化。

生:处理立体几何问题时把空间几何转化为平面几何来处理，就是空间问题平面化。

师：投影展示情境1思考题1思考题2就是空间问题平面上考虑。

设计意图：通过介绍类比平面几何来研究立体几何，引导学生用类比平面向量来研究空间向量，为平面向量推广到空间向量做好准备。

【问题1】请同学们回忆平面向量的有关概念。你能类比平面向量，填写空间向量的有关概念吗？（提问学生）

表1

平面向量

空间向量

练习判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由：

⑴a5且b3ab.（ ）

⑵空间中相反向量的模相等. （ ）

⑶空间中任何一个向量与它的相反向量都不相等.（ ）

⑷abab.（ ）

⑸abab.（ ）

⑹ab且bcac.（ ）

⑺空间中任意两个单位向量必相等.（ ）

⑻若两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.（ ）

设计意图：通过练习1，进一步加强学生对空间向量概念内涵的理解，有利于学生形成空间向量的概念域、概念系。

师：空间向量的概念建立起来，接下来研究下一个问题。

【问题2】空间两直线有异面关系，空间两向量是否也可能异面呢？

问题3】空间向量的加法、减法运算是怎样定义的呢？与平面向量是否一致呢?

探究问题（5）求三个、四个，乃至更多个空间向量的和，如何解决？

探究问题（6）若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，那么这些向量的和等于什么？

【问题4】平面向量的加法有哪些运算律呢?

交换律：abba，

结合律：(ab)ca(bc)

【问题5】空间向量的加法又有哪些运算律呢? 你该如何证明？

设计意图：通过类比的手段得到空间向量的线性运算法则和运算律，类比是本节课

的主要思想方法。

3学以致用

例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式 (如图)

(4)ABADAA

(1)ABBC

(2)ABCC1

(3)AA1C1B1DC1

结论1：底面是平行四边形四棱柱称平行六面体

拓展提升：从空间向量的角度如何构造一个平行六面体？ 探究4：一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是600，且大小均为200N，问钢板将如何运动？

设计意图：呼应探究4，通过学习空间向量来解决一个问题，激发学生求知欲，为学习空间向量数量积埋下伏笔。

结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量。

板书设计: §3.1.1

空间向量及其运算

例题1

探究4

教学反思: 本节课以在类比中生成为主线,通过学生熟悉的平面向量入手,深入到空间向量问题，先解决一个相对比较容易问题，然后抛出教材中的那个例子，产生认知冲突，通过探究“空间向量是否可能异面?”来实现平面向量的加减法则、运算律仍适用于空间向量的教学目的,使得知识的生成水到渠成,收到良好的教学效果。在知识的处理上,紧抓基本概念的理解,在空间向量的加减运算上,利用三角形法则、四边形法则,重在“平移”即

“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”。注重向学生渗透类比思想、转化思想和数形结合思想。本节设计不再以知识为至上,以能力为终极,而是以学会学习为追求、以奠定终身发展为目标,在数学教育过程逐渐培养学生的数学核心素养。

需要改进的地方是,放手不够大胆,留给学生思考的时间和空间不足够,今后的教学中要相信学生,让课堂成为学生展示梦想的舞台,尽量让学生通过自主体验与合作探究,成了极富潜力的学习者、探索者,实现其不可动摇的“主体”价值。