探究与发现 为什么二次函数v=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线教案推荐

人教版高二数学选修2-1第二章2.4抛物线

《探究与发现

为什么二次函数v=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线？》

教学设计

青铜峡市高级中学

贺睿

学习目标

1.经历从二次函数图象出发经过平移得到抛物线的过程,从形的角度体会到二次函数图象就是抛物线。

2.通过对二次函数进行配方,从方程上得到坐标满足二次函数解析式的点符合到定点的距离和到定直线距离相等,从而二次函数的图象满足抛物线的定义。

学习目标

1.经历从二次函数图象出发经过平移得到抛物线的过程,从形的角度体会到二次函数图象就是抛物线。

2.通过对二次函数进行配方,从方程上得到坐标满足二次函数解析式的点符合到定点的距离和到定直线距离相等,从而二次函数的图象满足抛物线的定义。

一、知识回顾

1、函数图象平移变换

问题1:如何由函数y=f(x)的图象变换得到函数y=f(x+a)的图象? 生：将y=f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位就得到函数y=f(x+a)的图象

问题2:如何由函数y=f(x)的图象变换得到函数y=f(x)+b的图象? 生：将y=f(x)的图象向上或向下平移|b|个单位就得到函数y=f(x)+b的图象

问题3：函数图像的平移变换口诀是什么？平移过程中图像形状是否会发生变化？

生：左加右减，上加下减，平移过程中图像形状不会发生变化。

2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点式怎么表示？

生：yaxhk

2问：其中h和k表示什么？

b4acb2生：（h，k）表示二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标，其中h，k. 2a4a2练习：将下列二次函数转化为顶点式。

（1）yx3x5

（2）y2x4x-1

两名学生板演

教师讲评并强调配方时需要加一次项系数一般的平方。

3、抛物线的定义是什么？

生：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线

填表：抛物线的图像和性质（请一名学生口答）

标准方程

22y22px(p0)

y22px(p0)

x22py(p0)

x22py(p0)

图形

范围

对称轴

顶点坐标

焦点坐标

准线方程

二、问题提出

众所周知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线。在解析几何中，抛物线的定义是在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.这两种抛物线是一回事吗？

三、问题探究

探究1：

抛物线y12x的焦点坐标和准线方程分别是什么？

4生：将抛物线方程变形为x2=4y得到焦点坐标和准线方程

思考：你能说明为什么二次函数y=ax2（a≠0）的图像是抛物线吗？指出他的焦点坐标、准线方程. 生：把方程改写为x211y的形式，这是顶点为坐标原点，焦点为0，，准线方程是a4ay1的抛物线

4a板书：二次函数y=ax2（a≠0）的图像是顶点为坐标原点，焦点为0，，准线方程是14ay1的抛物线。

4a师：刚才我们通过取特殊值发现二次函数y=ax2（a≠0）的图像是抛物线，那怎么说明二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是不是抛物线呢？

生：也可以给a,b,c取特殊值观察。

探究2：

下列二次函数的图像为什么是抛物线？

1212x1（2）yx2

44

122（3）yx21

（4）y2x4x-1

4（1）y学生小组讨论，选择适当的方式说明，各小组请一个代表发言

例如分析（1）：

链接几何画板，观察y12x14

发现二次函数y12x1的图像可看作抛物线x2=4y图像向上平移1个单位的结果。

4y12x14的图像是抛物线。

由于平移变换不改变图形的形状，因此师：既然它们的图像都是抛物线，那么它们的焦点坐标和准线方程是什么？

小组讨论，通过平移找出焦点坐标和准线方程

探究3：

现在你能说明二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像为什么是抛物线吗？

生：可以先将二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)化为顶点式ya(xh)2k

用几何画板演示抛物线ya(xh)2k的平移试验

师：从图像你能发现什么？

生：从图像可以看出，当h和k变化时，抛物线的图像形状不发生改变。

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是由抛物线y=ax2(a≠0)平移后的图像，函数图像不发生任何变化。所以二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线。

四、小结

问：本节课你有哪些收获？

学生先总结，教师出示：

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是由抛物线y=ax2(a≠0)平移后的图像，函数图像不发生任何变化。所以二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线。

2、数学方法：配方法、平移。

3、数学思想：数形结合、转化（化繁为简）。

五、思考作业：

1、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的焦点坐标和准线方程是什么？

2、你还有其他方法说明二次函数的图像是抛物线吗？