1.2.1 充要条件名师教学设计1

1.2

充分条件与必要条件

考

纲

定

位

1.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的定义．

2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充分必要条件．

断．

3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系．

4.能够利用命题之间的关系判定充分必要关系或进行充分必要性的证明.

[自主梳理] 一、充分条件与必要条件

1．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

2．如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

二、充分必要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充分必要条件．显然，如果p是q的充分必要条件，那么q也是p的充分必要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充分必要条件．

1．已知a∈R，则“a>1”是“a>1”的(

) A．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件

解析：若a>1，则a>1，反之亦成立．

答案：B 2．“x＝3”是“x2＝9”的(

) A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要的条件

解析：当x＝3时，有x2＝9，但当x2＝9时，x＝3或x＝－3，故“x＝3”是“x2＝9”的充分而不必要的条件．

B．充分必要条件

D．必要不充分条件

_q．此时，我们就说p难点：理解充分条件、必要条件与充分必要条件的意义及应用. 重点：充分条件与必要条件的判重

难

突

破

答案：A 3．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由x2－3x＋2>0⇒x>2或x<1.故选A. 答案：A 4．已知a，b，c∈R，a>b是ac2>bc2的________条件．

解析：由ac2>bc2⇒a>b，但a>b⇒/ ac2>bc2，当c2＝0时不成立．

答案：必要不充分

探究一

充分条件、必要条件、充分必要条件的判断

[典例1]

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B；

(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0. [解析]

(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p要条件．

(3)取A＝120°，B＝30°，p分也不必要条件．

(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．

判断p是q什么条件的方法

(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．

(2)关于充分必要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．

q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充綈q，所以p是q的充分不必

1．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．

答案：A 探究二

充分条件、必要条件的应用

[典例2]

已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．

1[解析]

令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤－或x≥2}；

2N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，

由已知p⇒q，且q

p，得MN. 11a－2>－2a－2≥－2，333所以或⇔≤a<2或

利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围

(1)化简p、q两命题；

(2)根据充分性、必要性转化为集合间关系；

(3)利用集合间关系建立不等关系；

(4)求解参数范围．

2．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不必要条件，求m的值．

解析：x2＋x－6＝0解得x＝2或x＝－3，

∴p＝{2，－3}．

∵q是p的充分不必要条件，∴q1又q：x＝－(m≠0)．

mp.

11当－＝2时，m＝－；

m211当－＝－3时，m＝. m311所以m＝－或m＝. 23探究三

充分必要条件的证明

[典例3]

求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件是m≥2. [证明]

(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，

由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2. (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，

2Δ＝m－4≥0，m≥2或m≤－2，所以即

x1＋x2＝－m<0，m>0，

所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2. 综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．

充分必要条件的证明

(1)由题意先确定条件p，结论q；

(2)证p⇒q，得充分性；

(3)证q⇒p，得必要性；

(4)结论成立．

3．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充分必要条件．

1解析：当a＝0时，x＝－符合题意．

2当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，

由于f(0)＝1>0，

2∴当a>0时，Δ＝4－4a≥0，且－<0，即00，

所以方程恒有负实数根．

综上所述，a≤1为所求．

等价转化思想与充分必要条件

[典例]

已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充分必要条件．

[解析]

设方程的两根分别为x1，x2使x1，x2都大于1的充分必要条件为

Δ＝2k－1－4k≥0，x1－1＋x2－1＞0，x1－1x2－1＞0，22

即x＋x－2＞0，xx－x＋x＋1＞0，1212121k≤，4

k≤4，结合根与系数的关系有：－2k－1－2＞0，k＋2k－1＋1＞0，21

解得k＜－2. 即方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根大于1的充分必要条件为k＜－2. [感悟提高]

(1)等价转化的意识

对于不等式(组)的转化必须是等价的，否则求的就不是充分必要条件．由“x1＞1，x2＞1⇒x1＋x2＞2，x1x2＞1”，但反过来“x1＋x2＞2，x1x2＞1

x1＞1，x2＞1”，例如取x1Δ≥0，＝1，x2＝3，有x1＋x2＞2，且x1x2＞1.但没有保证两个根都大于1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1是两根都大于1的必要条件，不是充分条件．

(2)整体思想的应用意识

利用一元二次方程的根与系数的关系，体现了“设而不求，整体代入”的思想和方法，如本例的化简即体现了这种思想.

[随堂训练]

1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

仅解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．

答案：B 2．“x<－1”是“x2－1>0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

x<－1，∴“x<－解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0

1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．

答案：A 3．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，

∴a·b＝a·c答案：B 4．已知M＝{x|0

解析：∵由a∈M

a∈N，但a∈N⇒a∈M，

b＝c；反之，b＝c⇒a·b＝a·c. ∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

5．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．

解析：由(x－a)2<1，得a－1

由x2－5x－24<0，得－3

故a的取值范围为[－2,7]．