1.1.2 四种命题教学内容概述

1.1.2《四种命题及其相互关系》

【教学目标】

1.理解四种命题的概念，了解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种命题； 2.通过对四种命题相互关系的学习，培养学生逻辑推理能力；

3.通过学生自编命题，互相交流的学习，培养学生探索创新、合作交流的学习精神。

【教学重难点】

【重点】

（1）会写四种命题并会判断命题的真假；

（2）四种命题之间的相互关系。

【难点】

（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假。

【导入新课】

复习导入

1.复习命题的概念和组成，及其命题的真假判定；

2.问题：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数。

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数。

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数。

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

新授课阶段

1.命题的概念：

通过上述的问题得到：（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

从而得到：

交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题。

注意：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

2.

“若P，则q”的形式的四种命题的写法

思考：若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

原命题：若P，则q。则：

逆命题：若q，则P。

否命题：若￢P，则￢q。（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号。“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P。

例1. 写出命题“若a,b都是偶数，则ab是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。

解:逆命题:若ab是偶数，则a,b都是偶数，它是假命题；否命题:若a,b不都是偶数，则ab不是偶数，它是假命题；逆否命题:若ab不是偶数，则a,b不都是偶数，它是真命题。

3.四种命题之间的关系

思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。

结合以上练习完成下列表格：

原 命 题

逆 命 题

否 命 题

逆 否 命 题

真

假

真

假

假

真

真

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性。

由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系。

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

总结归纳

若P，则q．

原命题

互 互

否

互

否命题

互 逆

若￢P，则￢q．

若￢q，则￢P．

逆否命题

为 逆

否

为

逆

否

否

互

互 逆

逆命题

若q，则P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

例2：

证明：若p

＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2。

【分析】如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。将“若p

＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p + q≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若p ＋ q ＞2，则p

＋ q２2222

22 22 22 ＝111222［（p －q）＋（p ＋q）］≥（p ＋q）＞×2222＝2.所以p

＋ q≠2。这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

课堂小结

（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

作业

见同步练习部分

拓展提升

1.已知三个不等式：ab0,bcad0,cd0（其中a,b,c,d均为实数）.用其中两个不等ab式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2.命题：“若ab0(a,bR)，则ab0”的逆否命题是 （ ）

A.若ab0(a,bR)，则ab0 B.若a0,且b0(a,bR)，则ab0

C. 若ab0(a,bR)，则ab0 D.若a0,或b0(a,bR)，则ab0

3. 有下列四个命题：

①“若xy0 , 则x,y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q1 ,则x2xq0有实根”的逆否命题；

22222222222④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④

4. 命题“若x,y是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题。

5.写出命题“若m0，则方程xxm0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明。

2

参考答案

1. D【解析】易知由ab0,bcad0cdcd0；ab0,0bcad0；

ababcdbcad0,0ab0。

ab2. D【解析】ab0的否定为a,b至少有一个不为0。

3. C【解析】①的逆命题为“若x,y互为相反数，则xy0”为真命题；②的否命题为

“不全等三角形的面积不相等相等”为假命题；③的逆否命题为“若x22xq0有实根,则q1”，为真命题；④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，是假命题。

4. 【解析】原命题的逆否命题是“若xy不是偶数，则x,y不都是奇数”，

它是真命题。原命题是真命题。

5. 解：原命题的逆否命题是：“若方程xxm0没有实数根，则m0”.它是真命题。

证明：∵方程xxm0没有实数根， ∴14m0， ∴m∴m0成立.(也可以证明原命题正确)

221，

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