小结优秀教学设计内容

第三章

空间向量与立体几何小结（二）

--利用立体几何中的向量方法求线面角

甘肃省临洮中学

窦彩云

一、教学内容解析

本节课教学内容为：人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-1》，第三章

空间向量与立体几何的小结，主要针对于利用向量方法求线面角的总结与复习。高中的立体几何就是以简单的几何体为载体，研究点、线、面的位置关系和度量问题。向量是联系代数与几何的一座天然的桥梁，借助空间直角坐标系，可以利用向量将几何结构代数化，实现用代数方法解决几何问题。利用立体几何中的向量方法求线面角以及相关的逆向求参数问题，既是高考的高频考点，也是学生学习的薄弱点。本节课整体的设计思路是“理解基础上的掌握，掌握基础上的应用”，通过对利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”的复习让学生体会数形结合的思想，把握向量法解决立体几何问题的一般步骤。通过复习公式，让学生体会把线面角问题转化为向量问题的化归思想，把思想的暗线变成程序化解题的明线。教学中的选题以近年的高考题为背景改编，一题多变，体现基础性和层次性，通过例题和两个跟踪练让学生复习向量法求线面角的一般步骤，规范解答过程，两个拓展训练针对高考高频题型，属于探索性的问题，把思考还给学生，通过层层递进的问题链，引导学生分析探究，验证反思，突出重点，分解难点。课后作业1为基础题训练，2为探究性的潜能开发题，旨在课后引发学生合作探究的热情，夯实学生的运算求解能力，提升学生的数学核心素养。

能用向量方法解决线面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 二、教学目标

知识与技能

1.能建立立体图形与空间向量之间的联系，理解并掌握向量法求线面角的一般方法. 2.能规范书写解题过程。

过程与方法

1.通过解决问题的过程培养学生的运算求解能力、逻辑推理能力、空间想象能力. 2.使学生体会数形结合、转化化归、类比等数学思想方法. 情感态度价值观

通过对问题层层递进式地的探究，培养学生勇于探索的学习习惯，让学生感受和体会

数学的魅力. 三、教学重点

复习利用空间向量方法求线面角．

四、教学难点

熟练应用向量法求线面角的一般步骤求线面角．

五、教学准备

导学案 幻灯片

六、教学方法

以讲导学，以练固讲，讲练结合。讲是为了引导学生和提高效率，体现教师主导；练是为了巩固知识和提升能力，体现学生的主体地位。例题重在师生共做，体会数学思想发方法，教师板书规范过程；跟踪练习、拓展训练重在教师引导下的学生的思考、探究和体验，重在解题经验的积累、发散思维的培养和运算能力的训练。

七、教学过程

创设教学情境

通过展示几幅世界著名建筑的图片，激发学生学习立体几何的兴趣，引出本节课题．

教学活动过程

活动一

检查知识准备情况

1、知识与能力

（1）直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平

面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 . 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是

. 直线和平面所成角的范围是 . （2）两个向量夹角的范围是 . 两个向量的夹角公式 . （3）若a(x,y,z),则a

. 若a(x1,y1,z1),bx2,y2,z2，则ab= 2、过程与方法

利用空间向量解决立体几何问题的三步曲是什么？

用空间向量表示立

体图形中的点、直线、平面等元素

.

进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系

把运算结果

“翻译”成相应的几何意义

活动二

探究如何用向量法求直线与平面所成的角

结论：设直线l与平面所成的角为,直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，

则有sincosa,n

．

向量法求线面角的一般步骤：

1、

恰当建立直角坐标系，准确表示点的坐标；

2、

求斜线的方向向量和平面的法向量；

3、

利用sincosa,n求线面角. 活动三

讲练结合，巩固知识与方法

A O P

PA底面ABCD，ADAB，AB//DC，典例剖析

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.

教师引导学生分析思路，板书示范解题过程．通过本题让学生进一步明确向量法求线面角的一般步骤．

跟踪练习

求直线BC与平面PBD所成角的余弦值；

学生板演，教师根据学生解答情况纠错，强化公式记忆，并提醒学生要审清题意．

拓展训练1 若F为棱PC上一点，满足BFAC，求直线BF与平面PBD所成角的正弦值; 教师引导，学生探究如何设出BF的坐标．通过交流达成共识：对于点的探究性问题，要善于根据点的位置结合向量共线定理、向量运算等工具灵活设出未知量，尽量使未知量的个数少．

拓展训练2

若去掉题目条件中的“AB=1”,问AB的长为何值时，使得直线AC与平面PBD所成的角为600？

教师引导学生发现：若点在坐标轴上，可直接用一个未知量设出点的坐标．通过本题训练学生含参法向量的计算以及解方程的运算能力．

课时小结

1、

向量法求线面角的一般步骤，强调规范书写解题过程；

2、

易错点总结；

3、

向量法求角虽然避开了找角的思维困难，但运算较繁，需通过一定量的典题训练提高运算求解能力．

八、课后作业

1、【2014高考陕西第17题】四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中DC，CA于点F，G，H. 点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，

（1）证明：四边形EFGH是矩形；

（2）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值. 2、【潜能开发】将例题中的问题改为（一题多变）: (1)线段PC上是否存在一点F,使得直线BF与平面PBD所成角的正弦值为3？

3(2) 若去掉题目条件中的“AB=1”,问AB的长为何值时，使得直线BE与平面PBD所成的角的正弦值为九、板书设计

课题

公式

典例剖析

拓展训练1 拓展训练2 3？

3