1.2.1 充要条件主要内容及教案内容

1．2．1

充分条件与必要条件

充要条件

教学目标

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

知识回顾：

1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q 2、四种命题之间的相互关系

3、推出符号“



”的含义

如果命题“若p则q”为真，则记作p 

q；如果命题“若p则q”为假，则记作p 

q

引入新课

1、判断下列命题的真假，并用推出符号表示。

（1）若x＝y，则xy

（2）若

a = 0，则

ab = 0 （3）若x>1，则x>1

（4）若x＝1或x＝2，则x－3x＋2＝0 2、思考

⑴

p ：小明是绵阳人

。q ：小明是四川人

⑵

p ：x >5 ，

q ：x >0；

（3）

p ：A∩B=A，

q ：A是B的子集

在⑴、⑵、（3）中，pq

，即只要有条件p 就一定能“充分”保证q 成立，这时称p是q成立的充分条件.

3、学生活动

⑴

q ：小明是四川人

p

：小明是绵阳人

2222

命题⑴，

根据逆否命题

pq

,

即如果没有q成立,就一定没有p成立, q成立是p成立“必须要有”的条件,称

q是

p的必要条件.

充分、必要条件的定义：

如果已知p=>q,则说p是q的充分条件，q是p的必要条件

如果已知q=>p,则说q是p的充分条件，p是q的必要条件

注意：①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。

②必要性：必要就是必须的，必不可少的

③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个

逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。

例题讲解：

例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x=1，则x2 –4x+3=0；

（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；

（3）若x 为无理数，则x2

为无理数

例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中q是p的必要条件？

(1)

若x=y，则xy

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。

(3) 若a>b，则ac>bc。

思考：已知p：整数a是６的倍数， q：整数a是２和３的倍数，

那么p是q的什么条件？2．充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

例3、下列各题中，哪些p是q的充要条件?

(1)p: b=0

q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数

(2)p: x>0，y>0

q: xy>0

(3)p: a>b

q: a+c>b+c 22

例4、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿条件.

从集合角度认识充要条件

例5、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

变式1：]若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

变式2、本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A若AB，则p是q的充分不必要条件；

B，则p是q的必要不充分条件．

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

课后练习：

1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的

(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(

) A．充分必要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2018·福建泉州高考数学模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0与直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．(2018·浙江宁波十校联考)已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ab5．设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(

) |a||b|A．a＝－b

B．a∥b

C．a＝2b

D．a∥b且|a|＝|b| 6．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．

(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；(2)“x＜5”是“x＜3”的________．

7．

“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a<2”的________条件．

8．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；

②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；

③“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；

④在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．

9．下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？

(1)p：c＝0，q：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；

(2)p：x＞1且y＞1，q：x＋y＞2且xy＞1；

(3)p：0＜x＜3，q：|x－1|＜2．

10．已知p：x2－2x－3<0，若－ab恒成立的实数b的取值范围．