2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优质课一等奖

第二章 2.1.1 平面 （教师版）

高一数学教研组：高琳

【学习目标】

（1）正确理解平面的几何概念，利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的性质。

（2）熟练掌握三种语言的转换，会用三个公理证明共点共线共面的问题。

（3）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；培养学生的空间想象能力。

【学习重点】理解平面的几何概念，掌握平面的性质，会用三个公理证明共点共线共面的问题

【基础知识】

1.几何里的平面是__无限延展的____的，我们通常把水平的平面画成一个_ 平行四边形___。

2.常用符号的记法：

（1）点A在平面α内，记作__A____；点B在平面α外，记作__B____。

（2）点P在直线上，记作____Pl___；点P在直线l外，记作_____Pl_____。

（3）直线l在平面内，记作__l___；直线l不在平面内，记作___l____。

3.公理1:如果_一条直线上的两点在一个平面内__，那么这条直线在此平面内。用符号表示 为____________________，图形为________________,其作用是_证明直线在平面内____。

4.公理2:__过不在一条直线上的__的三点，_有且只有_____一个平面。图形为 _________________________，其作用是___确定平面___________。

推论1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3.经过两条平行直线,有且只有一个平面. 5.公理3:如果两个不重合的平面 有一个公共点 ，那么它们_有且只有一条过该点____的公共直线。用符号表示为_________________________，图形为___________________，其作用是___做两个平面的交线_____。

注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”【例题讲解】

例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

β

α

a

α

l a B

β

b A

P

l

变式迁移1：用符号表示下列语句，并画出相应的图形。

（1）点A在平面内，但点B在平面外；

（2）直线a经过平面外的一点M；

（3）直线a既在平面内，又在平面。

1

例2

下列命题正确的是(

C

)

A．画一个平面，使它的长为

14 cm，宽为

5 cm B．一个平面的面积可以是

16 m

C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分

D．10 个平面重叠起来，要比

2 个平面重叠起来厚

例3

下列命题正确的是(

D

)

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

例4 判断下列命题是否正确

A．平面与平面相交，它们只有有限个公共点。

(

×

) B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

（

√）

C．经过两条相交直线，有且只有一个平面

（

√）

D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

（

√）

【达标检测】

1.

已知三条不同的直线a,b,c两个不同的点A，B及面，如果aa,b,laA,lbB

那么下列关系成立的是（

A

）

A．l

B.l

C.lA

D.lB

2.空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中（

B

）

A.必有三点共线

B.必有三点不共线

C.至少有三点共线

D.不可能有三点共线

3.互不重合的三个平面最多可以把空间分成的部分是（

D

）

A. 4

B. 5

C. 7

D. 8 4.下面给出了四个条件：（1）空间三个点（2）一条直线和一个点（3）和直线a都相交的两条

直线；（4）两两相交的三条直线. 其中，能确定一个平面的条件有（

A

）

A．0个

B.

1个

C.

2个

D. 3个

5.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么（

A ）

A．M一定在直线AC上

B..M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

2 2

D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

6.A，B，C表示不同的点，下列推理不正确的是（

C ）

a,l表示不同的直线，,表示不同的平面，A．Al,A,Bl,Bl

B．A,A,B,B直线AB C．l,AlA

D．A，B，C,A,B,C且A，B，C不共线与重合

7. 下列命题正确的是(

C

)

A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内

B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内

C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内

D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点

8.在空间，下列命题中不正确的是（

B

）

A.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点

B.若已知四个点不共面，则其中任意三个点也不共面

C.若点A既在平面内又在平面内，则点A在平面与平面的交线上

D.若两点A，B既在直线l上又在平面内，则l在平面内

9.若直线上有两个点在平面外，则（

D

）

A.直线上至少有一个点在平面内

B.直线上有无穷多个点在平面内

C.直线上所有点都在平面外

D.直线上至多有一个点在平面内

10.给出下列说法：（1）梯形的四个顶点共面；（2）三条平行直线共面（3）有三个公共点的两

个平面重合（4）每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面，其中说法正确的序号是（

( 1)(.4 )

）

11.已知M，N，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AB，BC，C1D1,C1C的中点，证明：M，N，P，Q四点共面。

3

【问题与收获】

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【学习目标】

1.理解异面直线的概念；了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、

异面直线的夹角以及直线垂直的概念；

2.能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。

3.通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体

图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．

【学习重点】

重点：异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法

难点：理解异面直线概念，作异面直线所成的角.

【知识链接】

以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中两直线的位置关系；通过“直观感知——操作确认——思维辩证”的认知过程展开，得到平行公理和等角定理．

【基础知识】

复***面的特点是______、

_______ 、_______. 复***面性质(三公理) 公理1_________________________________________________________________；

公理2_________________________________________________________________；

公理3_________________________________________________________________. 探究1：异面直线及直线间的位置关系

问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢? 观察：如图在长方体中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？C1

A

1

D

A

B

B

1

C

结论：直线AB与CC既不相交，也不平行.

新知1：像直线A1B与CC1这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.

问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？

新知2：异面直线的画法有如下几种(a,b异面)：

4

aabbba

理解选择合适的异面直线的定义：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 新知3:总结出空间中两条直线的三种位置关系并进行分类：

①从有无公共点的角度分类：有且仅有一个公共点-------------相交直线没有公共点-------------平行直线异面直线②从是否共面的角度分类共面直线-----------------相交直线平行直线异面直线-----------------不同在任何一个平面内

探究2：平行公理及空间等角定理

问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?

观察：如图2-1,在长方体中，直线CD∥AB，AB∥AB，那么直线AB与CD平行吗?

cab图2-1

新知4: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.（如上图）

问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?

观察：在图2-1中,ADC与ADC,ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?

新知5: 定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

探究3：异面直线所成的角

问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?

α

图2-2 新知6: 如图2-2,已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线

a∥a,b∥b，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这

5

两条直线互相垂直，记作ab. 【例题讲解】

例1 如图

，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

例2 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？

CGADBAHG(C)EDF(B)HEF

【达标检测】

1. a,b,c为三条直线，如果ac,bc，则a,b的位置关系必定是（

D

）. A.相交

B.平行

C.异面

D.以上答案都不对

2. 已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（

C ）.

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

3. 已知l,a,b，且a,b是异面直线，那么直线l（

B

）.

A.至多与a,b中的一条相交

B.至少与a,b中的一条相交

C.与a,b都相交

D.至少与a,b中的一条平行

4. 正方体ABCDABCD的十二条棱中，与直线AC是异面直线关系的有__6________条. 5. 长方体ABCDA1B1C1D1中,AB3,BC2,AA1=1，异面直线AC与A1D1所成角的余弦值是______.213

136 完成下面的判断题.

（1）没有公共点的两条直线是异面直线．（× ）

（2）平面内一点与平面外一点的连线，和平面内的直线一定是异面直线．（ × ）

（3）分别在两个平面内的两条直线是异面直线．（× ）

（4）在空间既不平行也不相交的直线是异面直线．（ √

）

（5）和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线．（× ）

（6）不在平面内的两条直线是异面直线．（ × ）

6

（7）不可能在同一平面内的两条直线是异面直线．（ × ）

7

如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA和CC

⑵BD和CA

45

90

【问题与收获】

7