复习参考题教案教学设计导入整理

第二章测评

(时间:120分钟

满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是(

)

A.平行

B.相交

C.平行或相交

D.不相交

解析:棱台的各条侧棱所在直线相交于一个公共点,而这个公共点在棱台的侧面的各个平面内,即这条侧棱所在直线与其他各个侧面所在平面都有一个公共点,故选B.

答案:B 2.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(

) A.直线AC

B.直线AB

C.直线CD

解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β.又C∈β,∴CD⊂β; 同理,CD⊂平面ABC, ∴平面ABC∩平面β=CD.故选C.

答案:C 3.异面直线a,b分别在平面α,β内,若α∩β=l,则直线l必定(

) A.分别与a,b相交

B.与a,b都不相交

C.至少与a,b中一条相交

D.至多与a,b中一条相交

解析:假设a∥l,b∥l,则a∥b,这与a,b异面矛盾.

又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.

答案:C 4.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,则图中共有直角三角形的个数是(

)

D.直线BC

A.8 B.7 C.6 D.5 解析:因为PA⊥平面ABC, 所以PA⊥BC.

因为PD⊥BC,PA∩PD=P, 所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC.

图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB,共8个.

答案:A 5.导学号96640066如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是(

)

A.平面ABD⊥平面ABC

B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC

D.平面ADC⊥平面ABC

解析:易知:在△BCD中,在∠DBC=45°,∴∠BDC=90°.

又平面ABD⊥平面BCD,而CD⊥BD, ∴CD⊥平面ABD,∴AB⊥CD, 而AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD, ∴平面ABC⊥平面ACD.

答案:D 6.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为(

) A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

解析:

如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=

.

∵M为A'C的中点,∴MC=AM=

,且CM⊥BM,AM⊥BM, ∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.

答案:C 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,则二面角C-BB1-D1的正切值为(

) A.

∵AC=1,MC=MA=

,∴∠CMA=90°,故选C.

解析:∵DB⊥BB1,BC⊥BB1,∴由二面角的平面角的定义知,∠DBC就是二面角C-BB1-D1的平面角.

答案:D 8.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(

) A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α

B.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β

C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β

D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α

解析:选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.

答案:D 9.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为(

) A.13 B.

C.12

D.15 又∠BCD=90°,∴tan∠DBC=

.

B.

C.

D.

解析:如图,连接AD.

∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.

在Rt△ABD中, AD=

=4

.

在Rt△CAD中,CD=

=13.

答案:A 10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是(

)

A.CC1与B1E是异面直线

B.AC⊥平面ABB1A1

C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1

D.A1C1∥平面AB1E

解析:由已知AC=AB,E为BC中点,则AE⊥BC.

∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,故C正确.

答案:C 11.

如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(

) 解析:

如图,连接BD与AC相交于点O,连接SO, 取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG, 因为E,F分别是BC,SC的中点, 所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB⊂平面SBD,所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD.

由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO, 因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面EFG, 所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.

答案:A

12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(

) A.

B.

C.

D.

解析:在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.

⇒C1E⊥平面BDD1B1,

∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.

∵BC1=

,C1E=

,

∴sin∠C1BE=

.

答案:D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=

.

解析:如图所示, 则直线AB,CD确定一个平面ACBD.

∵α∥β,∴AC∥BD,∴

, 答案:9 14.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,当四边形A1B1C1D1满足条件

时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).

∴

,解得SD=9.

解析:由题意可知CC1⊥平面A1B1C1D1, 所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1.

所以只要B1D1⊥A1C1.

此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.

答案:B1D1⊥A1C1(或A1B1C1D1是正方形等,答案不唯一) 15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为

.

解析:设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin 60°=

.

答案:

16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是

(写出所有正确命题的编号).

①当0

时,S为四边形

②当CQ=

时,S为等腰梯形

③当CQ=

时,S与C1D1的交点R满足C1R=

④当

⑤当CQ=1时,S的面积为

解析:当CQ=

时,D1Q2=D1

+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以D1Q=AP.又因为AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②

正确;当0

图①

如图②,当CQ=

时,由△QCN∽△QC1R得

,即

,C1R=,故③正确.

图②

如图③所示,当CQ=1时,截面为APC1E.

可知AC1=

,EP=

且APC1E为菱形,

四边形

,故⑤正确.

当

所以④错误.

图③

答案:①②③⑤

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)(2016安徽宿州高二期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.

(1)求证:AQ∥平面CEP;

(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.

解:(1)在矩形ABCD中, ∵AP=PB,DQ=QC,∴APCQ.

∴AQCP为平行四边形.∴CP∥AQ.

∵CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP, ∴AQ∥平面CEP.

(2)∵EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD, ∴AQ⊥EP.

∵AB=2BC,P为AB中点,∴AP=AD.连接PQ,ADQP为正方形.

∴AQ⊥DP.又EP∩DP=P, ∴AQ⊥平面DEP.

∵AQ⊂平面AEQ.∴平面AEQ⊥平面DEP.

18.

(本小题满分12分)(2016宁夏石嘴山高一期末)已知直三棱柱ABC-A'B'C'满足∠BAC=90°,AB=AC=

AA'=2,点M,N分别为A'B,B'C'的中点.

(1)求证:MN∥平面A'ACC'; (2)求证:A'N⊥平面BCN.

(3)求三棱锥C-MNB的体积.

(1)证明:如图,连接AB',AC'.

∵四边形ABB'A'为矩形,M为A'B的中点, ∴AB'与A'B交于点M,且M为AB'的中点, 又点N为B'C'的中点, ∴MN∥AC', ∵MN⊄平面A'ACC',且AC'⊂平面A'ACC', ∴MN∥平面A'ACC'.

(2)证明:∵A'B'=A'C',点N为B'C'的中点, ∴A'N⊥B'C'.

又BB'⊥平面A'B'C',∴A'N⊥BB',

∵B'C'⊂平面BCN,BB'⊂平面BCN,且B'C'∩BB'=B', ∴A'N⊥平面BCN.

(3)解:取BN的中点D,连接MD,则MD∥A'N.

由(1)知A'N⊥平面BCN,∴MD⊥平面BCN.

∵∠BAC=90°,∴BC=

=2

.

又三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,且AA'=4, ∴S△BCN=

×2

×4=4

.

∵A'B'=A'C'=2,∠B'A'C'=90°,点N为B'C'的中点, ∴A'N=

, ∴M到平面BCN的距离为

, ∴V

C-MNB=VM-BCN=

×4

.

19.(本小题满分12分)(2016山西临汾高二期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.

(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;

(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不存在,说明理由.

(1)证明:∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CD.

又AB⊥AD,AB∥CD, ∴CD⊥AD.

由①②可得CD⊥平面PAD.

又CD⊂平面PCD, ∴平面PCD⊥平面PAD.

(2)解:当点E是PC的中点时,BE∥平面PAD.

证明如下:设PD的中点为F,连接EF,AF, 易得EF是△PCD的中位线, ∴EF∥CD,EF=

CD.

由题设可得AB∥CD,AB=

CD, ∴EF∥AB,EF=AB, ∴四边形ABEF为平行四边形, ∴BE∥AF.

又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD, ∴BE∥平面PAD.

20.(本小题满分12分)(2015浙江台州高二期末) 如图,已知AE⊥平面CDE,四边形ABCD为正方形,M,N分别是线段

BE,DE的中点.

(1)求证 :MN

∥平面ABCD; (2)若

,求EC与平面ADE所成角的正弦值.

①②

(1) 证明:连接线段BD.

在△BDE中,∵M,N分别是线段BE,DE的中点, ∴MN为中位线,则MN∥BD.

又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD.

(2)解:连接线段AC.

∵四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.

又AE⊥平面CDE,∴CD⊥AE, 且AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.

EC与平面ADE所成角的平面角即为∠CED.

在△ACE中,令AE=a,CE=2a,则AC=

a,

∴CD=

a.

在△CDE中,sin∠CED=

.

.

∴EC与平面ADE所成角的正弦值为

21.(本小题满分12分)(2016河北唐山高二期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.

(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值; (2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.

解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC.

∵E是BC的中点,∴A1H∥AE,∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角.

∵底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点, ∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC.

∵侧棱AA'⊥底面ABC, ∴侧棱B1B⊥A1H, ∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H⊥HC.

在Rt△A1HC中,

cos∠CA1H=

.

(2)由(1)知A1H⊥平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC, ∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角,

在

Rt△A1HC中,tan∠A1CH=

.

22.导学号96640068(本小题满分12分)(2015山东临沂高一期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积; (2)求证:平面PAB∥平面EFG; (3)在线段PB上确定一点M,使PC⊥平面ADM,并给出证明.

(1)解:∵PD⊥平面ABCD,

∴VP-ABCD=

×SABCD×PD=

×2×2×2=

.

(2)证明:E,F分别是线段PC,PD的中点,∴EF∥CD.

又ABCD为正方形,AB∥CD,∴EF∥AB, 又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴EF∥平面PAB.

∵E,G分别是线段PC,BC的中点,∴EG∥PB.

又EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB, ∴EG∥平面PAB.

∵EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.

(3)解:当M为线段PB中点时,PC⊥平面ADM.证明如下: 取PB中点M,连接DE,EM,AM,

∵EM∥BC∥AD,∴A,D,E,M四点共面.

由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD, 又AD⊥CD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面PDC,∴AD⊥PC, 又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点, ∴DE⊥PC.AD∩DE=D, ∴PC⊥平面ADEM,即PC⊥平面ADM.