习题2.3课堂实录

章末专题整合——直线与圆锥曲线的位置关系

教学目标：直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.

（一）

主要知识及主要方法：

1.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理 . 2.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否

有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便.

3.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法. 4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算：1连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；2易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；3一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式： d(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)2＝(112)(yy). 12k2焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.焦点弦长：PFe

dPFed（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的

准线的距离，e是离心率）

5.涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设Ax1,y1、Bx2,y2，Px0,y0是直线与圆锥曲线的两个交点，O为坐标原点，则OAOBx1x2y1y20，

APBPx0x1x0x2y0y1y0y20

6.解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算. （二）典例分析：

问题y21．设直线l过双曲线x1的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标32[来源:学科网]原点，若OAOB0，求AB的值.

1

问题2．过抛物线y22px（p0）的焦点作一条直线交抛物线于Ax1,y1、Bx2,y2，

两点，设直线的倾斜角为.求证：1y1y2p2；2AB2p

2sin

22问题3．（04湖北）直线l：ykx1与双曲线C：2xy1的右支交于不同的两点A、B. （Ⅰ）求实数k的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

2

问题4．

（07天津质检）已知中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与圆

x2y24x2y源:学科网ZXXK]

150交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB的斜率为，22[来求此椭圆的方程.

（三）课后作业：

y21.（07南通九校联考）过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，2若AB4，则满足条件的直线l有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条

2[来源:Z.xx.k.Com]

y22.已知双曲线C:x1

，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，

4则满足上述条件的直线l共有 ( ) 2

A.1

条

B.

2条 C.3条 D.4条

3.（07北京海淀区）若不论k为何值，直线ykx2b与直线x2y21总有公共点，则b的取值范围是( )

A.3,3 B.3,3 C.2,2 D.2,2



3 

x2y24.直线kxyk10与椭圆1公共点的个数是( ) 2516

A.0

B.1

C.2 D.随k变化而改变[来源:学科网ZXXK]

5.椭圆mx2ny21与直线xy1交于M,N两点，MN的中点为P，且OP的斜率

为

A.

m2，则的值为 ( ) n22292232 B. C. D.

232276.已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度是( )

A.32

B.23

C.30

3D.36

2x2y27.若直线ykx1和椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围为 25m

8.过椭圆2x2y22的一个焦点的直线交椭圆于P、Q两点,求△POQ面积的最大值.

1，过F作直线l交

3椭圆于A,B两点，已知线段AB的中点到椭圆左准线的距离是6，则AB 9.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率为e

y210.已知双曲线的方程为x1.1求以点A2,1为中点的弦所在的直线方程

322以点B1,1为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，

请说明理由.

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