1.1.2 简单组合体的结构特征教案和学案内容

第2课时

圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

学习目标

1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(重点).2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.3.圆柱、圆台、圆锥之间关系的理解(重点)．

预习教材P5－P7完成下列问题：

知识点1

圆柱的结构特征

圆柱

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

相关概念：

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

【预习评价】

1．在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？

提示

圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．

2．圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？

提示

不一定．圆柱的母线与轴是平行的．

知识点2

圆锥

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

相关概念：

圆锥的轴：旋转轴

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(√) 图中圆锥表示为圆锥SO

图形及表示

圆柱O′O

图中圆柱表示为：圆形及表示

(2)过轴的截面是全等的等边三角形．(×) 提示

不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形．

知识点3

圆台

圆台

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台

相关概念：

圆台的轴：旋转轴

圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面

圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点．(×) 提示

延长后相交于一点．

(2)过任意两条母线的截面是等腰梯形．(√) 知识点4

球

球

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球

相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：半圆的半径

直径：半圆的直径

【预习评价】

1．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？

提示

半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．

2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？

提示

不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．

知识点5

简单组合体

1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．

图中的球表示为：球O

图形及表示

图中圆台表示为：圆台O′O

图形及表示

2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

【预习评价】

观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．

提示

图1是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的．

题型一

旋转体的结构特征

【例1】

给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(

) A．①②

C．①③

B．②③

D．②④

解析

由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．

答案

D 规律方法

简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

【训练1】

下列命题正确的是________(只填序号)．

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．

解析

①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．

答案

④⑥

题型二

简单组合体的结构特征

【例2】

如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解

旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．

规律方法

(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

【训练2】

如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？

解

画出形成的几何体如图所示．

由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的．

考查方向

题型三

旋转体的有关计算

方向1

有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题

【例3－1】

用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

解

设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.

根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm. 根据相似三角形的性质，得所以圆台的母线长为9 cm. 方向2

有关球的简单计算问题

【例3－2】

已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是________cm. 解析

如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可．

3r＝.解得l＝9. 3＋l4r

由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm，

所以d＝R2－r2＝100－36＝8(cm)．

答案

8 规律方法

(1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．

(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．

课堂达标

1．下列几何体是台体的是(

)

解析

台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．

答案

D 2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(

) A．圆柱

C．球体

B．圆台

D．棱台

解析

圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形，故选D．

答案

D 3．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(

) A．有且只有一个

C．无数个

B．一个或无穷多个

D．以上均不正确

解析

当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．

答案

B 4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．

解析

如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝323AB，∴3＝AB2，∴AB＝2. 44

答案

2 5．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．

解

分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．

图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．

课堂小结

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．球面、球体的区别和联系

球面

球体

区别

球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面

球体是几何体，包括球面及所围的空间部分

联系

球面是球体的表面

3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

4．处理组合体问题常采用分割思想．

5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

基础过关

1．圆柱的母线长为10，则其高等于(

) A．5 C．20 B．10 D．不确定

解析

圆柱的母线长与高相等，则其高等于10. 答案

B 2.如图是由哪个平面图形旋转得到的(

)

解析

图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D．

答案

D

3．下列说法正确的是(

) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球

B．球面上不同的三点可能在同一条直线上

C．用一个平面截球，其截面是一个圆

D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面

解析

对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的．所以选D．

答案

D 4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(

) A．4 C．23 B．32 D．26 解析

圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝26，即两底面之间的距离为26. 答案

D 5．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号)．

解析

①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．

答案

①④

6．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示)．

解析

设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r. ∴4r2＝Q，解得r＝答案

Q

2QQ，∴此圆柱的底面半径为. 2217．圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，3求此圆台的高、母线长及两底面的半径．

解

设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.

1由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.①

31(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②

2又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝2l.③

2联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝142. 8．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．

解

作出圆锥的一个纵截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝2x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴h2r＝，

h－x2x

2rh∴x＝. h＋2r即此正方体的棱长为2rh. h＋2r能力提升

9．大圆半径是小圆的直径，小圆面积与大圆面积之比是(

) A．1∶2 C．1∶4 B．2∶1 D．3∶5 解析

设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，则小圆面积∶大圆面积＝πr2∶π(2r)2＝1∶4. 答案

C 10．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(填序号)(

)

解析

易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A、D；等腰三角形的底边是正三棱

锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C．

答案

C 11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．

解析

由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝3. 答案

3 12．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．

解

将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

h＋h＝则hh＋h＋hh＝11249＋12，149，1

h1＝4h，所以

h2＝2h，

即h1∶h2＝2∶1. 13．(选做题)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：

(1)绳子的最短长度的平方f(x)；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

(3)f(x)的最大值．

解

将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，

∴L＝2πr＝2π.

L2π∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°. 2πl2π×4(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16(0≤x≤4)．

f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．

(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，

在△SAM中，

11∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，

22SA·SM4x∴SR＝＝2(0≤x≤4)，

AMx＋16即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，

∴f(x)的最大值为f(4)＝32.

4x(0≤x≤4)．

x2＋16