1.4.1 全称量词ppt配套教案板书设计

1．4.1

全称量词

1．4.2

存在量词

学习目标

1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一

全称量词、全称命题

思考

观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5. (1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．

梳理

(1)概念

短语“____________”“________________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题，叫做________________．

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．

知识点二

存在量词、特称命题

思考

观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m0∈Z，m0>5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)

梳理

(1)概念

短语“________________”“________________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题，叫做________________．

(2)表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为________________，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

(3)特称命题真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

类型一

全称命题与特称命题的判断

命题角度1

全称命题与特称命题的不同表述

例1

设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：

(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；

(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0)．

反思与感悟

全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．

跟踪训练1

“有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“特称”) 命题角度2

全称命题与特称命题的识别

例2

判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

反思与感悟

判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练2

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

n(4)对于数列n＋1，总存在正整数n0，使得an0与1之差的绝对值小于0.01.



类型二

全称命题与特称命题的真假的判断

例3

判断下列命题的真假．

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(4)存在一个实数x0，使得等式x20＋x0＋8＝0成立；

(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；

(6)∃x0∈R，x20－3x0＋2＝0. 反思与感悟

要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练3

判断下列命题的真假：

(1)有一些奇函数的图象过原点；

(2)∃x0∈R,2x20＋x0＋1<0；

(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤2.

类型三

利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例4

已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．

(1)命题p(x)：x＋1>x；

(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；

(3)命题p(x)：sin x>cos x.

反思与感悟

已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练4

若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．

1．下列命题中，不是全称命题的是(

) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

2．命题p：∃x∈N，x3

) A．p假q真

C．p假q假

B．p真q假

D．p真q真

3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是(

) A．a≥0

C．b≤0

B．a<0 D．b>1 4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题．(填“真”或“假”) 5．若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．

1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．

2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．

3．判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，

否则命题为假．

答案精析

问题导学

知识点一

思考

(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．

梳理

(1)所有的

任意一个

全称

∀

全称命题

(2)∀x∈M，p(x) 知识点二

思考

(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

梳理

(1)存在一个

至少有一个

存在

∃

特称命题

(2)∃x0∈M，p(x0) 题型探究

例1

解

(1)全称命题：

①对所有的自然数x,2x是偶数；

②对一切的自然数x,2x是偶数；

③对每一个自然数x,2x是偶数；

④任选一个自然数x,2x是偶数；

⑤凡自然数x，都有2x是偶数．

(2)特称命题：

①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；

②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；

③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；

④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；

⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数．

跟踪训练1

特称

例2

解

(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

跟踪训练2

解

(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0. |x0－y0＋1|(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)|x2＋y2＝1}，满足＝1.

2(3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．

(4)是特称命题，∃n0∈N*，|an0－1|<0.01，其中an0＝例3

解

(1)真命题．

(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．

(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．

2(6)真命题，x0＝2或x0＝1，都能使等式x0－3x0＋2＝0成立．

n0. n0＋1跟踪训练3

解

(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

(2)该命题是特称命题．

127∵2x2＋x＋1＝2(x＋)＋

000487≥>0，

8∴不存在x0∈R，使2x20＋x0＋1<0. 故该命题是假命题．

(3)该命题是全称命题．

π∵sin x＋cos x＝2sin(x＋)≤2恒成立，

4∴对任意实数x，sin x＋cos x≤2都成立，故该命题是真命题．

例4

解

(1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R. (2)∵x2－5x＋6>0，

∴(x－2)(x－3)>0，∴x>3或x<2. (3)∵sin x>cos x，

π5π∴2kπ＋

44跟踪训练4

解

由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2

由方程x2＋2ax＋2＝0无实根，可知a2－2<0，即a2<2，即－2

由方程x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16<0，即a2<16，即－4

∴当a2<2，即－2

∴当a≤－2或a≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根．

故a的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

当堂训练

1．D

2.A

3.B

4.假

5.[2,6]