1.1.1 命题教案教学设计导入整理

第1节

命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲

1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知

识

梳

理

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

[常用结论与微点提醒] 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论. 2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B且AB)两者的不同. A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒App⇒q且qpp

q且q⇒p

p⇔q

q且qp

3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件. 4.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. (3)若A＝B，则p是q的充要条件. 诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(

) 解析

(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

π2.(选修2－1P6练习引申)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) πA.若α≠4，则tan α≠1

πC.若tan α≠1，则α≠4

πB.若α＝4，则tan α≠1 πD.若tan α≠1，则α＝4

解析

命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan αππ≠1，綈p：α≠4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”.

答案

C 3.(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(

) A.充分而不必要条件

C.充要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

当x≤2时不一定有x≥0，而当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件. 答案

B

4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________. 解析

a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，

则a＋b＝－6

答案

－2，－4，－5(答案不唯一) 15.(2018·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－x＋a为奇函数”的________条件. 1解析

显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝x0.

又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－因此2a＝0，故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 答案

充要

考点一

命题及其相互关系

【例1】

以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价. 解析

①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数.

②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.

③不正确，原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价. 答案

②④

规律方法

1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

11＋a＋sin x－x＋a＝0.

－x

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.

【训练1】

(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A.真、假、真

C.真、真、假

B.假、假、真

D.假、假、假

(2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题：

①“∃x0∈R，x20－x0＋1≤0”的否定；

②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；

③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题. 其中真命题的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 解析

(1)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.

(2)①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3

(1)B

(2)C 考点二

充分条件与必要条件的判定

【例2】

(1)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(

) A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

解析

(1)存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.

/(2)x>y⇒

x>|y|(如x＝1，y＝－2).

但x>|y|时，能有x>|y|≥y.

∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.

答案

(1)A

(2)C 规律方法

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. xe，x≥－1，【训练2】

(1)(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)＝则ln（－x），x<－1，“x＝0”是“f(x)＝1”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

(1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.

(2)由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，

当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5；

反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0.所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件. 答案

(1)B

(2)C

考点三

充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例3】

(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围. 解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P. 1－m≥－2，∴解得m≤3. 1＋m≤10，又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，可知当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. 【迁移探究1】

本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由. 解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴

1＋m＝10，m＝9，这样的m不存在. 【迁移探究2】

本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SP. ∴[－2，10][1－m，1＋m]. 1－m≤－2，1－m<－2，∴或

1＋m>101＋m≥10，∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞). 规律方法

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【训练3】

(2018·长郡中学联考)若x>2m2－3是－1

) A.[－3，3]

B.(－∞，－3]∪[3，＋∞) D.[－1，1] (2m2－3，C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)

解析

∵“x>2m2－3”是“－1

答案

D

基础巩固题组

(建议用时：25分钟) 一、选择题

1.(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(

) A.若a≤b，则a＋c≤b＋c

C.若a＋c>b＋c，则a>b

B.若a＋c≤b＋c，则a≤b

D.若a>b，则a＋c≤b＋c

解析

将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.

答案

A 2.函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(

) A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件

解析

由极值的定义，q⇒p，但pq.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.

因此p是q的必要不充分条件.

答案

C 3.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α

，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.

因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案

A 4.下列结论错误的是(

) A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

解析

C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

1即m≥－4，不能推出m>0.所以不是真命题. 答案

C 5.(2018·东北三省四校模拟)原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.4个

解析

原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个. 答案

C 6.(2018·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不

破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(

) A.充分条件

C.充要条件

B.必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

答案

B 7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是

綈p，则a的取值范围是(

) A.[1，＋∞)

B.(－∞，1] D.(－∞，－3] C.[－1，＋∞)

解析

由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.

答案

A 8.(2018·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立.

当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立. 答案

B 二、填空题

9.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件. 解析

cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.

由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.

∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 答案

充分不必要

10.有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2

①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误.②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤

－2，则x2≥4”，正确. 答案

②③

11.(2018·湖南十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝

－B”是“数列{an}为等比数列”的________条件. 解析

若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列.

如果{an}是等比数列，由a1＝S1＝Aq＋B得

a2＝S2－a1＝Aq2－Aq，a3＝S3－S2＝Aq3－Aq2，

∴a1a3＝a22，从而可得A＝－B，

故“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件. 答案

必要不充分

12.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________. 解析

令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴Ma>0，∴解得0

(0，3) 能力提升题组

(建议用时：10分钟) 13.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

x>1且y＝1，例如xN，

解析

若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2

＝3，y＝0，所以qp.

因此p是q的充分不必要条件. 答案

A 14.(2018·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是(

) A.若a>b>0，则ln a

B.向量a＝(1，m)，b＝(m，2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1 C.命题“∀n∈N*，3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*，3n≥(n＋2)·2n－1”

D.已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题

解析

∵函数y＝ln x(x>0)是增函数，∴若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；命题“∀n∈N*，3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*，3n≤(n＋2)·2n－1”，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，D正确. 答案

D 15.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________. 解析

直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于解之得－1

(－1，3) 16.(2018·山西五校联考)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________. 解析

p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－4

由p是q的必要不充分条件可知BA，

∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7. 答案

(－∞，－7]∪[1，＋∞) |1－0－k|<2，2