1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）名师教学设计2

第1课时

柱体、锥体、台体的表面积

学习目标

1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．

知识点一

棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考1

正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？

答案

相等．

思考2

棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？

答案

是．

梳理

多面体

知识点二

圆柱、圆锥、圆台的表面积

思考1

圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

图形

表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积

答案

S侧＝2πrl，

S表＝2πr(r＋l)．

思考2

圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

答案

底面周长是2πr，利用扇形面积公式得

1S侧＝×2πrl＝πrl，

2S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．

思考3

圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

答案

如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，

xr如图，＝，解得

x＋lRrx＝l. R－rS扇环＝S大扇形－S小扇形

11＝(x＋l)×2πR－x·2πr

22＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，

所以S圆台侧＝π(r＋R)l，

S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．

梳理

图形

表面积公式

底面积：S底＝2πr2 圆柱

旋

转体

圆锥

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πr(r＋l) 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)

上底面面积：S上底＝πr′2 圆台

类型一

棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1

(1)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为(

) 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

33A.ab

4C．(3＋2)ab

答案

C 解析

斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB＝AC＝a，∴BC＝2a. ∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b，

∴SB.3＋2ab

223＋2D.ab

2＝SACC1A1＝absin 60°＝ABB1A13ab. 2又∵∠BB1C1＝90°，∴侧面BB1C1C为矩形，

∴S矩形BBCC＝2ab，

11∴S斜三棱柱侧＝故选C. 33ab＋ab＋2ab＝(3＋2)ab. 22(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

解

如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，

111则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3. 222

过E1作E1H⊥OE，垂足为H，

则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，

HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，

所以E1E＝317. 1所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E

2＝2×(6＋12)×317＝10817. 引申探究

本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？

解

如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P.

取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，

11且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，

22PO1O1E13则有＝＝，

POOE6即PO11＝，所以PO1＝O1O＝12. PO1＋O1O22222在Rt△PO1E1中，PE1＝PO21＋O1E1＝12＋3＝153，

在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，

所以E1E＝PE－PE1＝617－317＝317. 1所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E

2＝2×(12＋6)×317＝10817. 反思与感悟

棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．

跟踪训练1

已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．

解

由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，

且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，

取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，

所以VD＝VB2－BD2＝42－32＝13，

11则S△VBC＝VD·BC＝×13×23＝39，

2213S△ABC＝×(23)2×＝33，

22所以三棱锥V－ABC的表面积为

3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．

类型二

圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积

例2

(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．

答案

4π2r4＋S2

2S. 2πr解析

设圆柱的高为h，则2πrh＝S，∴h＝设圆锥的母线为l，∴l＝r＋h＝∴圆锥的侧面积为πrl＝πr2222S2r＋22. 4πr4π2r4＋S2S2r＋22＝. 4πr2(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．(结果中保留π) 答案

1 100π cm2

解析

如图所示，设圆台的上底面周长为c，

因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，

所以SA＝20，同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20，

所以S表面积＝S侧＋S上＋S下

2＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr2

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．

故圆台的表面积为1 100π cm2. 反思与感悟

解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．

跟踪训练2

(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(

) 1＋2πA.

2π1＋2πC.

π答案

A l解析

设圆柱的母线长为l，∴l＝2πr，r＝，

2π2π＋12l2则圆柱的表面积为2πr＋l＝2π2＋l2＝l，侧面积为l2，

4π2π221＋2πB.

4π1＋4πD.

2π2π＋1222π＋1∴圆柱的表面积与侧面积的比是l∶l＝. 2π2π故选A. (2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(

) A．4倍

B．3倍

C.2倍

D．2倍

答案

D S侧2πr2解析

设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr，∴＝2＝2. S底πr2类型三

简单组合体的表面积

例3

如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)

A．20π

B．24π

C．28π

D．32π

答案

C 解析

由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧1＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S2柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 反思与感悟

求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．

跟踪训练3

某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是______ cm2.

答案

7＋2 解析

其直观图如图．

由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，

1∴其表面积S＝6×(1×1)＋2××1×1＋1×2＝7＋2. 2课堂练习

1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是(

) SA.

B．πS

C．2πS

D．4πS

π答案

B 解析

∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，

∴圆柱的母线长为S，底面圆的直径为S，

∴圆柱的侧面积S＝π×S×S＝πS. 故选B.

2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是(

)

A.23

B.

C.3

D.2 23答案

B 解析

设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D－A1BC1的棱长为2，表面1积为4××2sin 60°×2＝23，∴正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是23，故选B. 33．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为(

) A．100π

B．81π

C．169π

D．14π

答案

A 解析

∵圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝(4r)2＋(4r－r)2，得r＝2，故圆台的侧面积等于π(r＋4r)×l＝π(2＋8)×10＝100π，故选A. 4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

答案

2 1解析

设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的2底面直径为2. 5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．

解

设此直角三角形为ABC，AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.

过C作CO⊥AB于点O，直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，20×15它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC＝＝12，圆锥(1)的侧25面积S1＝π×12×20＝240π，圆锥(2)的侧面积S2＝π×12×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S＝S1＋S2＝420π.

13∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.

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