3.1直线的倾斜角与斜率（通用）ppt课件教学实录

§9.1

直线的方程

1.直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为[0°，180°). (2)直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式

y2－y1经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. x2－x12.直线方程的五种形式

名称

点斜式

斜截式

两点式

截距式

方程

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xy＋＝1

ab适用范围

不含垂直于x轴的直线

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1

(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B≠0) 2平面直角坐标系内的直线都适用

3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；

(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；

(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；

(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0. 4.线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则xx＝x＋2y＋yy＝21122

，此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.

(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.

(

√

) (

×

) (

×

) (

×

) (

×

) (

×

) (

×

) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.

(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.

xy(7)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示. ab

(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.

(

√

)

(

) 2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过

A.第一象限

C.第三象限

答案

C

B.第二象限

D.第四象限

CC解析

由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直AB线经过一、二、四象限，不经过第三象限. 3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________________________________. 答案

45°或135°

解析

由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°. 4.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点.则直线l的倾斜角的取值范围为____________. ππ0，∪，π

答案

42m2－1解析

直线l的斜率k＝＝1－m2≤1. 1－2若l的倾斜角为α，则tan α≤1. ππ0，∪，π. 又∵α∈[0，π)，∴α∈425.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案

x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0 4解析

①若直线过原点，则k＝－，

34∴y＝－x，即4x＋3y＝0. 3xy②若直线不过原点.设＋＝1，即x＋y＝a. aa∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.

题型一

直线的倾斜角与斜率

例1

经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________. 思维启迪

本题考查斜率求解公式以及k与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论. π3π答案

[－1,1]

[0，]∪[，π) 44解析

如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则

kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，

α＝0，k>0时，α为锐角. 又kPA＝kPB＝－2－－1＝－1，

1－0－1－1＝1，∴－1≤k≤1. 0－2π又当0≤k≤1时，0≤α≤；

4

3π当－1≤k<0时，≤α<π.

4π3π故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π). 44思维升华

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据ππ0，与，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当斜率求倾斜角的范围时，要分22πππ0，时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈，π时，斜率k∈(－α∈222∞，0).

(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为

1A.

3

1B.－

3

2D.

3

(

)

(

) 3C.－

2(2)直线xcos α＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是

πππ5πA.6，2∪2，6

5π0，

C.6

π5π0，∪，π

B.66π5πD.6，6

答案

(1)B

(2)B

解析

(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，

a＋7＝2则有，解得a＝－5，b＝－3，

b＋1＝－2

－3－11从而可知直线l的斜率为＝－. 37＋5(2)由xcos α＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k≤. 3333≤tan θ≤. 333cos α. 3设直线的倾斜角为θ，则－ππ0，∪，π上的图象可知，

结合正切函数在22π5π0≤θ≤或≤θ<π.

66题型二

求直线的方程

例2

根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10；

10

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 思维启迪

本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式. 解

(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝10(0<α<π)，

103101从而cos α＝±，则k＝tan α＝±. 1031故所求直线方程为y＝±(x＋4). 3即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. xy(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，

a12－a又直线过点(－3,4)，

－34从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. a12－a故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，

即kx－y＋(10－5k)＝0. |10－5k|3由点线距离公式，得2＝5，解得k＝. 4k＋1故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 思维升华

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍. 解

(1)设直线l在x、y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

2∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0. 3

xy若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

aa32∵l过点(3,2)，∴＋＝1，

aa∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α

，则所求直线的倾斜角为2α. 2tan α3∵tan α＝3，∴tan 2α＝2＝－. 41－tanα又直线经过点(－1，－3)，

3因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

4即3x＋4y＋15＝0. 题型三

直线方程的综合应用

例3

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程. 思维启迪

先求出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，

表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值. xy解

方法一

设直线方程为＋＝1 (a>0，b>0)，

ab32点P(3,2)代入得＋＝1≥2 ab6，得ab≥24，

ab132b2从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程2aba3为2x＋3y－12＝0. 方法二

依题意知，直线l的斜率k存在且k<0. 则直线l的方程为y－2＝k(x－3) (k<0)，

23－，0，B(0,2－3k)，

且有Ak213－

∴S△ABO＝(2－3k)k241＝12＋－9k＋－k

21≥12＋2 24－9k·

－k1＝×(12＋12)＝12. 242当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立. 3－k

即△ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0. 思维升华

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. (1)证明

直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，

x＋2＝0x＝－2令，解得，

1－y＝0y＝1

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1). 1＋2k(2)解

由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，k1＋2k－≤－2k要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；

1＋2k≥1当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0. 1＋2k(3)解

由l的方程，得A－，0，B(0,1＋2k). k1＋2k－<0，k依题意得

1＋2k>0，解得k>0. 111＋2k∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k| 22k2111＋2k1＝·＝4k＋k＋4

2k2

1≥×(2×2＋4)＝4，

211“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，

k2∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例：(5分)与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________. 思维启迪

解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解. xy解析

当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，

aa即x＋y－a＝0，

∵点M(4,3)与所求直线的距离为5，

|4＋3－a|∴＝5，

2∴a＝7±52. ∴所求直线方程为x＋y－7－52 ＝0或x＋y－7＋52＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0. 同理可得|4k－3|4＝5，∴k＝－. 31＋k24∴所求直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0. 3综上所述，所求直线方程为

x＋y－7－52＝0或x＋y－7＋52＝0或4x＋3y＝0. 答案

x＋y－7－52＝0或x＋y－7＋52＝0或4x＋3y＝0 温馨提醒

在选用直线方程时常易忽视的情况有

(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；

(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；

(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.

方法与技巧

y2－y11.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝，该公式与x2－x1两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2.求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，

牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.

3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法. 失误与防范

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性. 3.利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量为(－B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 一、选择题

1.如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(

) A.k1

D 解析

直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0

A.1

B.－1 D.－2或1

(

)

B.k3

D.k1

C.－2或－1 答案

D a＋2解析

由题意得a＋2＝，∴a＝－2或a＝1. a3.已知直线PQ的斜率为－3，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为(

) A.3

答案

A 解析

直线PQ的斜率为－3，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝3. B.－3

C.0

D.1＋3

xyxy4.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是

abba

(

)

答案

A xyxy解析

化为截距式＋＝1，＋＝1. a－bb－a假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合. 5.设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0 (θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是

A.[0，π)

ππB.4，2

πππ3πD.4，2∪2，4

(

) π3πC.4，4

答案

C π解析

当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；

2当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－1. cos θ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，

πππ3π∴α∈4，2∪2，4. π3π综上知，倾斜角的范围是4，4，故选C. 二、填空题

6.直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________. 2答案

－

3解析

设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，

∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，

1＋12∴k＝＝－. 3－2－17.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________. 1答案

(－∞，－)∪(0，＋∞) 2解析

当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；

aaa当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，

a＋1a＋1a＋11解得－10. 21综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－)∪(0，＋∞). 28.若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________. 答案

16 －2xy解析

根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故aba－2＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0. b根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4ab，从而ab≤0(舍去)或ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号.即ab的最小值为16. 三、解答题

9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

1(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为. 64解

(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

k4－－3＝±由已知，得(3k＋4)k6，

28解得k1＝－或k2＝－. 33故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是

1y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

6由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0) 作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落

1在直线y＝x上时，求直线AB的方程. 2解

由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－设A(m，m)，B(－3n，n)，

所以AB的中点C3x. 33，

3m－3nm＋n，

2，21由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得

2m＋n1m－3n2＝2·2，m－0n－0m－1＝－3n－1，

解得m＝3，所以A(3，3). 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝3＋33＝，

23－13＋3所以lAB：y＝(x－1)，

2即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0. B组

专项能力提升

(时间：25分钟) 1.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为

1A.－

3答案

A 解析

结合图形可知选A. 2.直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点

1－，3 A.21C.2，－3 答案

D 解析

∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，

1B.2，3

1－，－3

D.2

(

) B.－3

D.3

(

) 1C.

3

11∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3，定点为(－，－3). 223.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为

(

) A.x＋2y－6＝0

C.x－2y＋7＝0

答案

B 解析

方法一

直线过点P(1,4)，代入选项，排除A、D，

又在两坐标轴上的截距均为正，排除C. xy方法二

设所求直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，

ab14将(1,4)代入得＋＝1，

ab14b4aa＋b＝(a＋b)(＋)＝5＋(＋)≥9，

abab当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，

xy∴直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0. 364.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________. 答案

3 xy解析

直线AB的方程为＋＝1，

343设P(x，y)，则x＝3－y，

433∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) 443＝[－(y－2)2＋4]≤3. 43即当P点坐标为2，2时，xy取最大值3. 5.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________. 答案

[－2,2]

解析

b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，

如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小

值和最大值. ∴b的取值范围是[－2,2].

6.直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点. (1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；

B.2x＋y－6＝0 D.x－2y－7＝0

(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程. 解

依题意，l的斜率存在，且斜率为负. 设l：y－4＝k(x－1)(k<0). 4令y＝0，可得A(1－，0)；令x＝0，可得B(0,4－k). k(1)|PA|·|PB|＝

42＋16·1＋k2

k41＝－(1＋k2)＝－4(＋k)≥8.(注意k<0) kk1∴当且仅当＝k且k<0即k＝－1时，

k|PA|·|PB|取最小值.这时l的方程为x＋y－5＝0. 44(2)|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)＝5－(k＋)≥9. kk4∴当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，

k|OA|＋|OB|取最小值.这时l的方程为2x＋y－6＝0.