习题3.2名师教学设计

一、教材分析

1.教学内容

本节内容选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版

选修2—1第三章3.2节立体几何中的向量方法。本节课的主要内容是运用空间向量证明线线垂直、线面垂直。

2.教材的地位与作用

证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点. 空间向量是处理空间线线、线面、面面位置关系夹角的重要工具运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度.大多数学生学习态度较端正，学习积极性，学习习惯不是很好。大部分学生还存在着依赖性，不愿意自己探究知识，没有好的学习习惯，还要教师在今后的学习中进行渗透。? 四、教学目标

1、知识与技能

(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；

(2)利用向量法证明线、面向量法证明线、面

六、教学过程

位置关系

向量表示

直线l的方向向量为，直线l的方向向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为l1⊥

l2 ⊥? l1⊥α

l1⊥a ,l1⊥b, ，a∩b=o，

1、双基回眸

前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：

1．直线l的方向向量的含义： . 2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）

（1）a//b ；

（2）a⊥b ；

（3）a·a＝

, 的方向向量分别为

，，平面

，

的法向量分别为，，则：

∥

；⊥

；

∥

；⊥

；

∥

；⊥

。

（三）利用向量方法证明——平面与平面平行的判定定理

【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

已知：直线

, 和平面

，，其中, ，

与相交，

∥，∥，求证：∥

【分析】根据∥∥，所以只要证明∥即可，那需要证明，都是平面的法向量

【证明】设直线

, 的方向向量分别为

，，平面

，

的法向量分别为，

【点评】向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题

→（2）进行向量运算

→（3）翻译向量运算结果，回到图形问题. 4、互动达标

此类问题前面已经接触过，下面再来总结及拓展一下：

问题1.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系

【分析】根据前面所学的方法，可将用与棱相关的向量表示出来，通过运算求解……

【解析】

【点评】遇到空间两点间的距离问题，往往把两点间的距离表示为以这两点为起点和终点的向量的模。然后把向量进行恰当的分解，运用向量的模满足的关系式：来进行针对性地运算和求解……

【探究】

1.本题中平行六面体的对角线的长与棱长有什么关系?2.如果一个平行六面体的各棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于,那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗?3.本题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少?1个问题与问题1类似；第２个问题是问题1的逆向问题，所列的式子应该是一样的，只不过未知数的位置不同……；第３个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和

b ,CD的长为

c, AB的长为d 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。

【分析】正如上面的分析，此题是问题1的逆向问题，解决方法与问题1一致……

【解析】

【点评】由此可体会解决一类数学问题的方法，从而以静制动，体现数学知识、

方法应用的本质。