1.1.2 四种命题教案1

1.1.2

四种命题及其相互关系

考点一

四种命题的概念

1、写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0

(3)若a>b，则ac2>bc2. [分析]

本题中第(1)(2)小题不是“若p，则q”的形式，首先应化为这种形式，再写其他命题，第(3)小题具备“若p，则q”的形式，可直接写其他三种命题．

[解析]

(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0；

逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数；

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0；

逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数；

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0；

逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0；

逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2. (3)原命题：若a>b，则ac2>bc2；

逆命题：若ac2>bc2，则a>b；

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b. [点评]

写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．

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2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0；

(2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数．

[解析]

(1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；

否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；

逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0. (2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数；

否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数；

逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数.

考点二

四种命题真假的判断

3、判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．

[解析]

(1)该命题为真．

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．

(2)该命题为假．

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逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．

否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图象与x轴无公共点，为假．

逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0，为假．

[点评]

判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．

4、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．

(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)相等的两个角的正弦值相等．

[解析]

(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．

否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．

(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等，假命题．

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等，假命题．

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等，真命题．

考点三

四种命题间的相互关系

5、若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

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A．互逆命题

C．互为逆否命题

[答案]

A

B．互否命题

D．以上都不正确

[分析]

研究命题之间的关系，将命题写成“若p则q”形式，然后依据四种命题的定义解答．

[解析]

设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件和结论互换，故q和r互为逆命题．

6、有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；

④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．

其中真命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 [答案]

B [解析]①逆命题，“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；

②∵原命题为假，∴其逆否命题为假．

③∵原命题的否命题为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，如x＝4>－3，但x2＋x－6＝14>0，∴是假命题．

④∵原命题的逆命题为“若a，b是无理数，则ab也是无理数”，如a＝(2)2，b＝2，则ab＝2是有理数，∴是假命题. 考点四

等价命题的应用

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7、已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出其否命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[分析]

由题目可获取以下主要信息：①给出一个具体的命题，②写出它的否命题及逆否命题，判断其真假并证明．解答这类题关键是根据命题的特点，选择合适的证明方法．

[解析]

(1)①否命题：如果a＋b<0，则f(a)＋f(b)

②当a＋b<0时，a<－b，

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

∴f(a)

又由a＋b<0，可知b<－a，

同理f(b)

则f(a)＋f(b)

即“a＋b<0⇒f(a)＋f(b)

(2)逆否命题：如果f(a)＋f(b)

[点评]

当直接证明一个命题的真假有困难时，往往需转化为证明其逆否命题的真假．

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8、已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有1一个小于3. [证明]

原命题的逆否命题为“已知a，b，c∈R，若a，b，c都1大于或等于3，则a＋b＋c≥1”．

111由条件a≥3，b≥3，c≥3，

三式相加得a＋b＋c≥1，

显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a，b，c1∈R，若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于3. 9、写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假．

[错解]

逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．

否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．

[辨析]

上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．

[正解]

逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．

否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．

π10、命题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是(

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ππA．若α≠4，则tanα≠1

B．若α＝4，则tanα≠1 ππC．若tanα≠1，则α≠4

D．若tanα≠1，则α＝4

[答案]

C

[解析]

本题主要考查命题的四种形式．写逆否命题时，将原命题的题设和结论分别否定再交换．故选C.

11、有下列4个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中是真命题的是(

) A．①②

B．②③

C．①②③

D．③④

[答案]

C [解析]①的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”，是真命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”为真命题，因此其逆否命题也为真命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”为假命题，则其逆否命题也为假命题．

12、“对顶角相等”的逆命题是________．

[答案]

相等的角为对顶角

[解析]

原命题为“若两个角是对顶角，则这两个角相等”；

故逆命题为“若两个角相等，则这两个角是对顶角”．

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13、若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的________．

[答案]

逆命题

[解析]

解法1：依据四种命题的关系图解．

由图示可知？处应为互逆关系．

解法2：用特殊命题探究

p：若x>2，则x>1，r：若x>1，则x>2，s：若x≤1，则x≤2，p的否命题：若x≤2，则x≤1，故s是p的否命题的逆命题．

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