探究与发现 为什么截口曲线是椭圆课堂实录【1】

2.1.1椭圆及其标准方程

教案

（一）教学目标

1.理解椭圆的定义；

2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；

3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（二）教学重点与难点

重点：掌握椭圆的标准方程

难点：会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

（三）教学过程

问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？

1、

曲线与方程的概念？

2、

求曲线的方程的步骤？

引例1：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的周长 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）

引例2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆

分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）

点题：今天我们学习“椭圆及其标准方程”

活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）

1、椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

即|PF1,F2；焦距：|F1F2|

1||PF2||F1F2|；焦点：F注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点---两点间距离确定

PF1F2 （2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）

在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）

由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)

问题2：你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗？

取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c0）. 则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（常数）

PPPF1PF22a

又PF1(xc)2y2，

(xc)2y2(xc)2y22a，

化简，得 (ac)xaya(ac)，

22由定义2a2c,ac0

yPF1OF2x22222222222222令acb代入，得 bxayab，

222x2y2两边同除ab得 221

ab22此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程

其中acb

222问题3：书本P39页思考？

问题4：书本P40页思考？

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成yPF2OF1x2y2F1(0,c),F2(0,c),只要将方程221中的x,y调换，即可得aby2x21，也是椭圆的标准方程 a2b2x2、椭圆标准方程：

（1）焦点在焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，

x2y2222中心在坐标原点的椭圆方程221 其中acb

ab（2）焦点在焦点在y轴上，焦点是F1(0,c),F2(0,c)，中心在坐标原点的椭圆方程y2x221 2ab其中acb

222x2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；由于m与n的大（3）方程mn小关系判断焦点在那个坐标轴上。

活动三：合作学习、探究新知

例 1：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

x2y2解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221 (ab0)

ab2a10,2c8a5,c4b2a2c252429x2y21 所以所求椭圆标准方程为259

点评：题（１）根据定义求

若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；

练习：书本P42页练习1 例2：已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

法一：书本P40页

53,，求它的标22x2y253法二：设椭圆的标准方程为221ab0，因点,在椭圆上，

ab2292512a102则4a

4ba2b24b6练习：书本P42页练习2 补充练习：

1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值 x2y2x2y2x2y21；②1；③1；④4y29x236

①224242x2y21的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，2

椭圆169则F2CD的周长为

3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上. 活动四：归纳整理、提高认识

1．

说说椭圆的定义？ 2．

说说椭圆的各种形式？

活动五：作业布置、提高巩固

1．书面作业：书本P49 A组1、2