3.1.1 空间向量及其加减运算优秀教学设计

§3.1.1

空间向量及其加减运算

知识点一

空间向量的概念

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

①

向量AB与AC是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；

②

②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解

①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC与BC共线，虽起点不同，但终点却相同.

【反思感悟】

解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．

下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC

答案

B 解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+

AD=AC，只有平行四边形才能成立.故A、C、D. 知识点二

空间向量的加、减运算

如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．

（1）AA1

+A1B1；（2）（3）AA1+11A1B1+ A1D1；

221A1B1+A1D1；

2（4）AB+BC+CC1+C1A1+A1A;

解

（1）AA1B1B

=AB1.

1111A1B1A1D1(A1B1A1D1)A1C1A1M

（2）222211（3）AA1A1B1A1D1AA1A1MAM

22（4）ABBCCC1C1A10

【反思感悟】

向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..

已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:

(1)(2)

AA'CB;

AB'B'C'C'D'

AA'CB=AA'BC

=AA'A'DAD'A 解

(1)

(2)AB'B'C'C'D'AD'

知识点三

向量加减法则的应用

在如图所示的平行六面体中，求证：ACAB'AD'2AC'证明

∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

→→→∴

ACABAD, AB'ABAA',

AD′＝AD＋AA′. ∴→→→又由于

AB＝CC′，AD＝BC，

→→→→→→∴

AB＋AD＋AA′= AB＋BC＋CC′=AC＋CC′＝AC′，

→→→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′. 【反思感悟】

在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量法则).

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.

→（1）AB＋AD＋AA1;；

（2）ABCC1DD1;.

解

如图，

→AC′=

ACAB'AD'(ADAA')(ABAD)(ABAA')=2(ABADAA'),

ABADAA',该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体

AB＋AD＋AA1= ACAA1AC1;

(2)ABCC1DD1=ABBB1AA1AB1AA1A1B1

图中AC1

，A1B1为所求. （1）

→

课堂小结：

1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．

2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．

3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．

4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．

课时作业

一、选择题

1．判断下列各命题的真假：

→→①向量AB的长度与向量BA的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

→⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 答案

C 解析

①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

[来源学。科。网]→→→→→→2. 已知向量AB，AC，，AC，BC

满足

|AB| ＝

|AC|＋|BC|，则(

) →→→→A．AB＝AC＋BC

B．AB＝－AC－BC

→→→→→C．AC与BC同向

D．AC与CB与CB同向

答案

D →→→→解析

由

|AB| = |AC

| + |BC

| = |AC

| + |CB|,知C点在线段AB上，否则与三角形两边→→→之和大于第三边矛盾，所以AC与CB与CB同向

[来源:Z#xx#k.Com]3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式DD1ABBC

A.

C.答案

A 解析

如图所示，

化简后的结果是（

）BD1 B.D1B

B1D D.DB1

→→→→→因

DD1＝AA1，DD1－AB＝AA1－AB＝BA1，

BA1＋BC＝BD1，

→→→∴DD1－AB＋BC＝BD1. 4．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是(

) →→→→→→A.EB＋BF＋EH＋GH＝0

B.

EB＋FC＋EH＋GE＝0

→→→→→→C.

EF＋FG＋EH＋GH＝0

D.EF－FB＋CG＋GH＝0

答案

B 解析

如图所示，

→→

→→→EB＋FC＋EH＋GE

→→→＝(EB＋BF)＋(GE＋EH) →= EF＋FE＝0.

5.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量BD1的是（

）

→→①

(A1D1－A1A)－AB；

→→②

(BC＋BB1)－D1C1；

→→③（AD－AB)－2DD1；

→→④（B1D1－A1A)＋DD1.

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

答案

A →→→→→(A1D1－A1A)－AB

＝

AD1－AB＝BD1.

→→→→→(BC＋BB1)－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1.∴①、②正确．

二、填空题

→→→6. 如图所示

a，b是两个空间向量，则AC与A′C′与A′C′是________向量，AB与→B′A′是________向量．

答案

相等

相反

→7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式AB+ CD

+ BCDA的结果为

________．

答案

0 解析

→→→→→→→→AB＋CD＋BC＋DA＝(AB＋BC)＋(CD＋DA) →=AC＋CA＝0. 三、解答题

8．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB→→→→→→的中点，请化简

（1）AB＋BC＋CD，（2）AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．

[来源学科网]

→→→→→解

（1）AB＋BC＋CD

= AC＋CD＝AD. (2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB中点．

→→→∴BE＝EC，EF＝GD.

→→→→→→∴AB＋GD＋EC

= AB＋BE＋EF

= AF

9. 已知ABCD是空间四边形,M和N分别是对角线AC和BD的中点. 1(ABCD)

2证明MN

=MAABBN

又MN

=ABMCDN, ∴2MN

= (MAMC)ABCD(BNDN)

求证:

MN= 由于M,N分别是AC和BD的中点,

所以．MAMC= 0.

1→→∴MN＝

(AB＋CD)．

210．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．

[来源:学科网ZXXK]求证：AG1→→(ABAC＋AD)．

3

证明

连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，

知

BG2BE

3∵E为CD的中点，

1→1→∴BE＝BC＋BD. 22→→→2→∴AG＝AB＋BG

= AB＋BE

3→1→=AB＋(BC＋BD) 3→1=AB

+(ACAB)(ADAB)

3= 1→→→ (AC＋AC＋AD)．

3