1.2.1 充分条件与必要条件教学设计模板

充分条件与必要条件 第一课时

教学目标：

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

教学重点：构建充分条件、必要条件的数学意义；

教学难点：命题条件的充分性、必要性的判断．

教学过程

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

二、讲授新课

1.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. cbc；用推断符号“和写出下列命题：⑴若ab，则a⑵若ab，则acbc；

”2．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

3.思考：

（1）若p是q的充分条件，那么p惟一吗？

提示：不惟一，如x>3是x>0的充分条件，而x>5，x>10等也都是x>0的充分条件．

（2）用符号“⇒”或“ / ”填空： (1)a>b________ac>bc；



(2)x=0________x(y-1)=0. 4．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“

xA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pq”相当于“AB”。

（2）借助于电路图理解必要条件：

如图所示，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件.

三、例题

类型一：充分条件、必要条件的判断

充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假,亦同命题真假的判定方法. (2)推出法：此法主要适应于抽象命题的判定，其表现形式为利用推出符表示其关系. (3)集合法：设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；

②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；

③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件；

④若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．

典例训练：

1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若A= ，则A⊆B；

（2）若函数的定义域关于原点对称，则函数是奇函数；

（3）若loga5>1，则a>1；

（4）若两条直线平行，则两条直线的斜率相等. 2.判断下列命题的真假: （1）“x（x-5）<0成立”是“|x-1|<4成立”的充分不必要条件；



（2）若集合M={-1,m2}，集合N={2,4}，则“m=2”是“M∩N={4}”的必要不充分条件；

（3）命题p: a∈M={x|x2-x<0}；命题q:a∈N={x||x|<2},则p是q的充分不必要条件；

（4）若p是r的充分条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则p是q的充分条件．

解析：1.因为命题（1），（3）为真命题，命题（2），（4）为假命题，所以（1），（3）中的p是q的充分条件. 2.（1）因为x（x-5）<0，所以0

N，所以p是q的充分不必要条件，即命题为真命题. (4)因为 ，所以p是q的充分条件.所以命题为真命题. 类型二：充分、必要条件的应用

(1)告诉条件是结论的充分条件，即由条件推出结论来，由此建立逻辑关系解决问题. (2)告诉条件是结论的必要条件，即由结论推出条件来，由此建立逻辑关系解决问题. 从集合的角度来看，满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合之间是子集关系. 典例训练：

1.若“x2>1”是“x

2.已知命题p：对数loga（-2t2+7t-5）(a>0,a≠1)有意义；q：关于实数t的不等式t2-（a+3）t+（a+2）<0. （1）若命题p为真，求实数t的取值范围；

（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【解析】1.因为x2>1⇒x<-1或x>1，又“x2>1”是“x

【互动探究】若将题1中的“xa”，其他条件不变，则a的最小值为多少？

【解析】因为x2>1⇒x<-1或x>1，又“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件，所以a≥1，所以a的最小值为1. 【总结】命题的真假与充分不必要条件和必要不充分条件的关系. 提示：当由已知和结论构成的命题是真命题，并且它的逆命题为假命题时，条件为充分不必要条件；当由已知和结论构成的命题是假命题，并且它的逆命题为真命题时，条件为必要不充分条件. 【变式训练】不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要

条件是－2

【解题指南】首先解不等式(a＋x)(1＋x)<0，然后由充分而不

必要条件建立两个不等式解集之间的关系即可.

【解析】不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2

等式成立，所以不等式的解为－a－a，即a>2. 答案：a>2 3.“x>-2”是“x>3”的________条件（填“充分”“必要”）. 【解析】因为x>3⇒x>-2，所以应填“必要”. 答案：必要

4.“x=1”是“方程x2-3x+2=0的根”的_________条件（填“充分”“必要”）. 【解析】因为方程x2-3x+2=0的根为x=1或x=2，所以x=1⇒x2-3x+2=0，所以应填“充分”. 答案：充分

5.已知P＝{x|a－4

【解析】由题意知，Q＝{x|1

∴

解得－1≤a≤5. ∴实数a的取值范围是［－1,5］．

四、课堂练习

课本 练习1、2、3 五、课堂小结

1.充分条件的意义；

2.必要条件的意义。

六、作业布置

同步作业

板书设计

充分条件与必要条件（1）

1.复习回顾

实例剖析

2.新课讲解

从不同角度理解充分条件和必要条件的意义

类型一

类型二

练习

小结

作业布置