1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀教案范文

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

教学目标

知识与技能

：

1.通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

2.通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

过程与方法

：

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

情感态度价值观

：

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

重点分析：

通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

难点分析：正确地对含有一个量词的命题进行否定

教学方法：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取

教学过程

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. 二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. （1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1）否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2）否定：存在一个素数不是奇数；

（3）否定：xR，x2-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究

问题2：写出命题的否定

（1）p：

x∈R，x2＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）

xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：

xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立.存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立. 用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否不是

定

至多有一词语

必有一个

至少有n个

个

所有x成立

立

定

五、巩固运用

例1

写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数

（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆

（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；

（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；

（3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3. 例2

写出下列特称命题的否定：

（1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有一个素数含有三个正因数. 解：（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；

（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；

（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数. 六、巩固练习

1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则(

) A．非p：∃x0∈R，cos x0≥1

B．非p：∀x∈R，cos x≥1

C．非p：∃x0∈R，cos x0>1 D．非p：∀x∈R，cos x>1 【解析】全称命题的否定为特称命题，

∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1. 【答案】C 2．下列命题中，真命题是(

) A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

【解析】只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次有

个

个

成立

成立

所有x不成

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个

函数不可能为奇函数，故B不正确．

【答案】A 3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(

) A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) b【解析】由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，2a即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．

【答案】C 4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是(

) A．[－2,2]

C．(－∞，－2]

B．[2，＋∞)

D．[－2，＋∞)

【解析】因为非p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．

由4x＋2xm＋1＝0，

4x＋1x1得－m＝x＝2＋x≥2.

22∴m≤－2. 【答案】C 5．命题“∀x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．

【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，非p(x0)”，

∴其否定为：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0.

2【答案】∃x0∈R，x0－x0＋4≤0

6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．

【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”．

【答案】有的向量与零向量不共线

7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线．

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．

(3)有些四边形存在外接圆．

(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．

解：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．

(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．

(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．

(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．

8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

解：对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，

只需12－a≥0恒成立，即a≤1；

对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，

则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.

若p且q为真，则a≤－2或a＝1. 故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．

七、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力.