1.1.3 四种命题间的相互关系教学目标设计

1.1.3四种命题的相互关系

教材分析：

本节课高中数学人教版选修1-1第一章常用逻辑用于第一大节第三课时内容它的前面一节里已介绍了四种命题的概念和形式，学生有了一定的基础，理解起来占优势，它也为后续学习奠定基础，这节课本身也是高考内容。

（一）教学目标

◆知识与技能：掌握四种命题的相互关系会用等价命题判断四种命题的真假。

◆过程与方法：多让学生举命题的例子，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点

重点：（1）会判断四种命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．

难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

（三）教学过程

练习：

判断下列语句是不是命题：（1）12>5a为正无理数,则 （2）若 a也是无理数;（3）x∈{1,2,3,4,5}（4）正弦函数是周期函数吗?我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题。１．复习引入

四种命题的概念和形式是什么？

原命题：若p 则q逆命题：若q 则p否命题：若 p 则 q逆否命题：若 q 则

p准确地写出否定形式是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.

正面词语等于

大于小于是都是

否定正面词语不等于不大于不小于不是全至少有一个能P或q非p且非q不都是P且q非p或非q否定不全一个也不能没有

2.思考、分析

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间的关系已经知道。你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

3.归纳总结

我们发现，命题（2）、（3）是互为逆否命题，命题（2）、（4）是互否命题，命题（3）、（4）是互逆命题。

一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如下图所示

若P，则q．

若q，则P．

原命题

互 逆

互 为

互

互 逆

若￢P，则￢q．

若￢q，则￢P．

否

逆

否

逆否命题

互

否

逆命题

互

否

为 逆

否命题

4.探索研究

例1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，

写出下列原命题的其他三种命题. 并判断真假。

（）若1xA，则xAB（2）在ABC中，若ab，则AB（3）正偶数不是质数（4）若x2－3x＋2＝0，则x＝2

（学生板演，教师讲解并引导总结得出）

原命题

真

真

假

逆命题

真

假

真

否命题

真

假

真

逆否命题

真

真

假

假

假

假

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

5.应用探究

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来达到目的。

练习：

判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）

变式训练1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.①③其中真命题的序号为________.解析①的逆命题是“若x, y互为相反数,则x＋y＝0”, 真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0 有实根,其逆否命题与原命题是等价命题, 真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边 三角形”, 假.

练习：有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题的序号为________.

例证明：若xy0,则xy0.证明：若x,y中至少有一个不为0，不妨设x0,22则x0,所以xy0,222也就是说xy0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题.

22当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。

反证法的一般步骤：(⑴)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；

(⑵)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3) 由矛盾判定假设不正确，

从而肯定命题的结论正确。

反证法证明用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.反设归谬结论

x=a 或_________,x=b证： 假设_________(x-a)(x-b)=0x=a 时,_________________, 由于____________ 与

(x-a)(x-b)≠0矛盾,x=b时,_________________,(x-a)(x-b)=0 又_________ 与(x-a)(x-b)≠0矛盾, 所以假设不成立,x ≠a且x ≠b 从而_________________。

B组用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。AOD已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有CPB OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。所以，弦AB、CD不被P平分。

证法二AO证明:假设弦AB、CD被P点平分, D连结

AD、BD、BC、AC,

CPB因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线AB、CD必是⊙O的直径，这与已知条件矛盾。所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。

例 2用反证法证明:如果ab0,那么ab.或者ab证明:假设a不大于b,则或者ab,因为a0,b0,所以abaaba与abbbababab这些都同已知条件ab0矛盾,所以ab演练反馈1.用反证法证明: 若方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, 则 b2-4ac>0.2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.

总结提炼

1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?①反设 ②归谬 ③结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．6 .小结

（1）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（3）原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

7.布置作业

P8页，习题1.1 3,4 设计意图：

满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础

教学设计

一、例题引入

二、归纳总结

教后反思:

三、探索探究

四、应用探究

五、小结

六、布置作业