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曲线上的点到定直线的距离的最值问题人教版普通高中课程标准实验教科书《数学选修4-4》（坐标系与参数方程）P28 x2y21上求一点M，使点M到直线x2y100的距离最小，并求例1：在椭圆94出最小值。解法一：（三角换元法——在参数方程知识背景下的解法）因为椭圆的参数方程为x3cos

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小结全国优秀课堂实录

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关键词：小结全国优秀课堂实录

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曲线上的点到定直线的距离的最值问题

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学选修4-4》（坐标系与参数方程）P28 x2y21上求一点M，使点M到直线x2y100的距离最小，并求例1：在椭圆94出最小值。

解法一：（三角换元法——在参数方程知识背景下的解法）

因为椭圆的参数方程为x3cos,（为参数）

y2sin,

所以可设点M的坐标为（(3cos,2sin)

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

d3cos4sin105

345(cossin)1055



155cos(0)10

34,sin0，

55其中0满足cos0由三角函数性质知，当00时，d 取最小值5。此时，

983cos3cos0,2sin2sin0.

5598因此，当点M位于(,)时，点M与直线x2y100的距离取最小值5。

解法二（方程求解法———在圆锥曲线知识背景下的解法）

设与直线x2y100平行的直线为x2ym0

将直线x2ym0与椭圆方程联立

x2ym02消去x得到关于y的一元二次方程

xy214925y216my4m2360

①

求椭圆上的点到直线的最小距离转化为求两条平行线间的距离的最小值问题，

而直线与椭圆相切等价于方程①有两个相等实根，也就等价于判别式为零。

16m4254m2360

2

解得m5

对答案的解释是与直线x2y100平行且与椭圆相切的直线有两条，如图所示，用求两条平行线间的距离公式可求得：

d10m5

d15,d235

其中5是椭圆上的点到直线x2y100的距离的最小值。此时m=-5 35是椭圆上的点到直线x2y100的距离的最大值。此时m=5. 把m=-5代入方程①解得y89，进一步解得x

55综上所述：点M坐标为(,)时，点M与直线x2y100的距离最小值5。

9855

解法三：（函数切线法———在函数的应用知识背景下的解法）

将椭圆的上半部分取出理解为函数，解析式为

y219

求其导函数得

21x'y2129122x

9

2x'9yx219

若函数曲线在点M处的切线与已知直线平行，设M坐标为x0,y0，则

ky'xx02x01922

x019解得：x098，代入椭圆方程解得y0

55从而点M,到直线的距离最小为d5

9855练习1：实数x,yx2y2满足25161，求zx2y的最大值和最小值。

练习x2y22：求椭圆221(ab0)的内接矩形的面积及周ab长，并求它们的最大值

关于本教案的常见问题

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