1.1.1 命题教学实录

编号：选修2-1-001

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

命题

[学习目标]

1.了解命题的概念．

2.会将一些简单的命题改写为“若p，则q”的形式．

3.会判断一些简单命题的真假(重点、难点)．

[知识提炼·梳理] 1．命题的概念

2．命题的结构形式

形式：“若p，则q”，其中，命题的条件是p，命题的结论是q．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x－1＝0是命题．(

) (2)2＋3＝8是命题．(

) (3)cos x＝3是真命题．(

) (4)4是集合{1，2，3}的元素是假命题．(

) 解析：(1)x－1＝0，不能判断真假，不是命题，不正确；(2)2＋3＝8，符合命题定义，正确；(3)cos x＝3不成立，是假命题，不正确；(4)正确．

答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

2．下列语句是命题的是(

) A．∅是任何集合的子集吗？

B．x2－1＝0. C．若x∈R，则x2＜0.

D．x＞0 解析：A是疑问句，B和D不能判断真假，C是陈述句且能判断真假，符合定义．答案：C 3．若M、N是两个集合，则下列命题中是真命题的是(

) A．若M⊆N，则M∩N＝M

B．M∩N＝N，则M⊆N

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班级：

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姓名：

C．若M⊆N，则M∪N＝M

D．若M∪N＝N，则N⊆M

解析：当M⊆N时，能推出M∩N＝M，A正确．答案：A 4．已知下列命题：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3＞x2成立；

(3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

其中是真命题的有________(填序号)．

答案：(3) 5．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是______________．

答案：函数为y＝2x＋1

该函数是增函数

类型1

命题的定义(自主研析) [典例1]

判断下面的语句是不是命题．

(1)空集是任何集合的子集．

(2)若整数a是素数，则a是奇数．

(3)指数函数是增函数吗？

(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．

(5) （－2）2＝2. (6)x＞15. 解：由命题的定义知，(1)、(2)、(4)、(5)是命题，(3)、(6)不是命题．

归纳升华

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．

因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：(1)是否为陈述句；(2)能否判断真假．

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江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

[变式训练]

判断下列语句是不是命题．

(1)求证

3是无理数；

(2)x2＋2x＋1≥0；

(3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；

(5)一个正整数不是质数就是合数；

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；

(7)x＋3＞0. 答案：(2)(4)(5)(6)是命题，(1)(3)(7)不是命题．

类型2

命题的真假判断

[典例2]

判断下列命题的真假．

①若xy＝1，则x、y互为倒数；

②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2＞bc2，则a＞b. 其中真命题的序号是________．

解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．

答案：①④

归纳升华

判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

[变式训练]

判断下列命题的真假．

(1)合数一定是偶数；

(2)方程ax＋1＝x＋2有唯一解；

(3)若a·b＞0且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；

c(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则a＞0. 解：(1)9是合数，但不是偶数，(1)假；(2)a＝1时，无解，(2)假；(3)、(4)

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班级：

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为真．

类型3

命题的结构形式

[典例3]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac＞bc时，a＞b；

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

解：(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．

(3)若ac＞bc，则a＞b.假命题．

(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．

[变式训练]

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．

(1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；

(2)若a＞0，b＞0，则a＋b＞0；

(3)面积相等的三角形是全等三角形．

解：(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分．真命题．

(2)条件p：a＞0，b＞0，结论q：a＋b＞0.真命题．

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江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

(3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形．假命题．

1．判断一个语句是否为命题应紧抓两点：①是不是陈述句，②能否判断真假．

2．判断命题真假的难点是对已有知识的掌握，尤其是真命题的判断．

3．准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p，则q”形式的关键．

A级

基础巩固

一、选择题

1．下列语句是命题的是(

) A．2 017是一个大数

B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点

C．对数函数是增函数吗

D．a≤15 答案：B 2．下列命题中是真命题的是(

) A．互余的两个角不相等

B．相等的两个角是同位角

C．若a2＝b2，则|a|＝|b| D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案：C 3．下列命题中真命题的个数为(

) ①若x2＝1，则x＝1；

②若x＝y，则x＝y；

③若a＞b，则a＋c＞b＋c；

④梯形的对角线一定不垂直．

A．1

B．2

C．3

D．4 解析：只有③正确．答案：A 4．已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；

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姓名：

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

1③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

2其中真命题的序号是(

) A．①②③

B．①②

C．①③

D．②③

解析：①③正确，②错误．答案：C 5．下列命题中，是真命题的是(

) A．若a3＋b3＝0，则a2＋b2＝0 B．若a＞b，则ac＞bc

C．若M∩N＝M，则N⊆M

D．若M⊆N，则M∩N＝M

解析：A.取a＝1，b＝－1，推不出a2＋b2＝0，A不成立；B.c≤0时，不成立；C.M∩N＝M⇒M⊆N，C不成立；D成立．答案：D 二、填空题

6．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为________________________________________________________．

答案：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称．

7．已知下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；

②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a＞b，则ac2＞bc2；

④矩形的对角线互相垂直．

其中假命题的个数是________．

解析：①②③④全为假命题．答案：4 8．给出下列三个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行．

其中，是真命题的是________(填序号)．

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答案：②

三、解答题

9．判断下列命题的真假．

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；

(2)正项等差数列的公差大于零；

1(3)函数y＝x的图象关于原点对称．

解：(1)假命题．当a＞0时，抛物线开口向上，有最小值．

(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.

1(3)真命题．y＝x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称．

10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)当ac＞bc时，a＞b；

1(2)当m＞时，mx2－x＋1＝0无实根；

4(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0. 解：(1)若ac＞bc，则a＞b.

因为ac＞bc，c＜0时，a＜b，所以是假命题．

1(2)若m＞，则mx2－x＋1＝0无实根．

4因为Δ＝1－4m＜0，所以是真命题．

(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，是真命题．

B级

能力提升

1．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(

) A．若a∥b，则α∥β

B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a、b相交，则α、β相交

D．若α、β相交，则a、b相交

解析：易知选项A、B、C都正确，对于D，α、β相交时，a、b一定不平

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编号：选修2-1-001

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行，但不一定相交，有可能异面，故D为假命题．答案：D 2．给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；

③对角线相等的四边形是矩形；

④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0. 其中真命题的序号是________．

解析：易知①②④正确，对于③，对角线相等且平分时的四边形是矩形，只满足相等不是矩形．故③错误．答案：①②④

3．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得由A、B构造的命题“若p，则q”为真命题．

1＋a1＋a解：若A则B，即“若x＞，则x＞1”，由命题为真命题可知≥1，551＋a1＋a解得a≥4；若B则A，即“若x＞1，则x＞”，由命题为真命题可知≤551，解得a≤4.

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