3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt专用说课稿内容

高 二

年级《数学》学科教学设计

学习时间

第一 周

星期三

内容

选修1-1 2018年 3月7 日

学案编号

1-1:3.2 复习内容

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

主笔人

陈才

审核人

廖龙

课程学习目标

1.能用定义求函数y＝f(x)＝c，y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x2，

1y＝f(x)＝x的导数; 2.

能用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;

2.过程与方法

体验用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数方法

1.知识与技能

3.情感态培养学生分析问题、解决问题的能力.

度价值观

教学重难点: 复合函数导数的求法

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P81～P85的内容，回答下列问题．

已知函数：

①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2，

1④y＝f(x)＝，⑤y＝f(x)＝x. x(1)函数y＝f(x)＝c的导数是什么？

Δyf（x＋Δx）－f（x）c－c提示：∵＝＝＝0，

ΔxΔxΔx

(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？

111提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，′＝－

. 2，(x)′＝xx2x(3)函数②③⑤均可表示为y＝x(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？

α1111－－αα－1提示：∵(x)′＝1·x11，(x2)′＝2·x21，(x)′＝′＝x－1＝，∴(x)′＝αx．

x2222x2．归纳总结，核心必记

(1)基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝x(α∈Q*)

α导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝α·xα－1

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x (2)导数运算法则

①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．

③f′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a＞0) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a＞0，且a≠1) xln a1f′(x)＝

xf（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．

[g（x）]2g（x）[问题思考] (1)常数函数的导数为0说明什么？

提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．

(2)对于公式“若f(x)＝x(α∈Q*)，则f′(x)＝αxαα－1”，若把“α∈Q*”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？

提示：当α∈R时，f′(x)＝αx(3)下面的计算过程正确吗？

α－1仍然成立．

sinπ′＝cosπ＝2. 424提示：不正确．因为sinπ2＝是一个常数，

42π而常数的导数为零，所以sin′＝0．

4(4)若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？

①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)；

1f′（x）②f（x）′＝－. [f（x）]2

提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．

[课前反思] (1)基本初等函数的导数公式有哪些？

；

(2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？

．

一、利用导数公式求函数的导数

[思考]

你能说出函数f(x)＝c与f(x)＝x、f(x)＝sin x与f(x)＝cos x、f(x)＝ax与f(x)＝ex、αf(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数公式有什么特点和联系吗？

(1)幂函数f(x)＝x中的α可以由Q*推广到任意实数．

α(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．

(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(ex)′＝ex是(ax)′＝axln a的特例．

11(4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x)′＝是(logax)′＝的特xxln a例．

讲一讲

1．求下列函数的导数：

(1)y＝10x；(2)y＝lg x；(3)y＝log1x；

2xxsin ＋cos －1. (4)y＝x；(5)y＝22432[尝试解答]

(1)y′＝(10x)′＝10xln 10.

1(2)y′＝(lg x)′＝.

xln 1011(3)y′＝(log1x)′＝＝－.

1xln 2xln 223313(4)y′＝(x3)′＝(x4)′＝x－＝.

4444x4xxsin ＋cos －1

(5)∵y＝22xxxx＝sin2＋2sin cos ＋cos2－1

22222

＝sin x，

∴y′＝(sin x)′＝cos x. 方法总结：

(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

练一练

1．求下列函数的导数：

11；

(1)y＝；(2)y＝e103(3)y＝lg 5；(4)y＝3lgx；

x(5)y＝2cos2－1. 21x111x解：(1)y′＝′＝elne＝－ex＝－e－x.

e1x1－ln 101x(2)y′＝′＝10ln 10＝10x

10＝－10x ln 10.

－xx(3)∵y＝lg 5是常数函数，

∴y′＝(lg 5)′＝0.

3(4)∵y＝3 lgx＝lg x，

∴y′＝(lg x)′＝1.

xln 10x(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，

2∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 二、利用导数的运算法则求导数

讲一讲

2．(链接教材P84－例2)求下列函数的导数：

xx(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sin cos；

22ex＋1(3)y＝x＋log3x; (4)y＝x. e－12[尝试解答]

(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.

111(2)∵y＝x－sin x，∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.

222(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋1.

xln 3（ex＋1）′（ex－1）－（ex＋1）（ex－1）′(4)y′＝

（ex－1）2ex（ex－1）－（ex＋1）ex－2ex＝＝x. （ex－1）2（e－1）2

利用导数运算法则求解的策略

(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．

(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．

(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．

练一练

2．求下列函数的导数：

cos x(1)y＝；

x(2)y＝xsin x＋x；

1＋x1－x(3)y＝＋；

1－x1＋x1(4)y＝lg x－2. xcos x（cos x）′·x－cos x·（x）′解：(1)y′＝′＝

xx2＝－x·sin x－cos xxsin x＋cos x＝－.

2xx21(2)y′＝(xsin x)′＋(x)′＝sin x＋xcos x＋

.

2x（1＋x）2（1－x）22＋2x4(3)∵y＝＋＝＝－2，

1－x1－x1－x1－x4－4（1－x）′4∴y′＝1－x－2′＝.

2＝（1－x）（1－x）211lg x－2′＝(lg x)′－2′

(4)y′＝xx＝12＋3. xln 10x

三、利用导数公式研究曲线的切线问题

讲一讲

3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

[思考点拨]

将直线y＝x向上平移，当直线与曲线y＝ex相切时，该切点到直线y＝x的距离最小．

[尝试解答]

如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．

则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，

又y′＝(ex)′＝ex，

∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．

利用点到直线的距离公式得最小距离为解决有关切线问题的关注点

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．

练一练

π13．求过曲线y＝cos x上点P，且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．

32解：∵y＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x，

πππ13∴曲线在点P，处的切线的斜率为k＝y′|x＝＝－sin＝－，

3323223∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，

3123π∴满足题意的直线方程为y－＝，

23x－3即23123x－y＋－π＝0. 3292. 2四、课堂归纳

1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)利用导数公式求导数，见讲1；

(2)利用导数运算法则求导数，见讲2；

(3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见讲3.

3．本节课的易错点是导数公式(ax)′＝axln a和(logax)′＝1以及运算法则[f(x)·g(x)]′与xln af（x）′的区别．

g（x）

五、课堂达标训练

题组1

利用导数公式求函数的导数

1．给出下列结论：

1ππ111①(cos x)′＝sinx；②sin′＝cos ；③若y＝2，则y′＝－；④－′＝

. 3xx3x2xx其中正确的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B

因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin

2π33＝，而′＝0，所以②322111x－12221310－（x）′－2x－20－（x）′－2′＝错误.＝所以③错误.′＝－＝＝x－44＝3，xxxxxx22x＝1，所以④正确．

2xx1α2．已知f(x)＝x(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于(

) 41111A.

B.

C.

D.

3284解析：选D

∵f(x)＝x，

∴f′(x)＝αxα－1α.

1∴f′(1)＝α＝.

4题组2

利用导数的运算法则求导数

3．函数y＝sin x·cos x的导数是(

) A．y′＝cos2x＋sin2x

B．y′＝cos2x－sin2x

C．y′＝2cos x·sin x

D．y′＝cos x·sin x

解析：选B

y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cosx＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.

4．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

1ln x＋x·＝a(1＋ln x)．

解析：f′(x)＝ax由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.

答案：3 5．求下列函数的导数．

ex(1)y＝sin x－2x；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝. sin x2解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′

＝cos x－4x.

(2)y′＝(cosx·ln x)′

＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′

cos x＝－sin x·ln x＋.

xe(3)y′＝sin x′

（ex）′·sin x－ex·（sin x）′＝

sin2xex·sin x－ex·cos x＝

sin2xex（sin x－cos x）＝. sin2x题组3

利用导数公式研究曲线的切线问题

6．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．

解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.

答案：y＝3x＋1 π7．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a2＝________．

ππππ解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos ＝1.又直线ax＋2y＋1＝2222aa－＝－1，解得a＝2.

0的斜率为－，所以根据题意得1×22答案：2 8．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，

x

∴f′(1)＝3a＋1.

又f(1)＝a＋2，

∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．

∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.

答案：1 六、课后训练：