测试教学设计与反思

章末复习(四)

圆

01

分点突破

知识点1

垂径定理

︵171．(黄冈中考)如图，M是CD的中点，EM⊥CD.若CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为．

4

知识点2

圆心角、圆周角定理

2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(B) A．45°

B．85°

C．90°

D．95°

3．如图，在⊙O中，弦AC＝23，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝6．

知识点3

三角形的外接圆

4．(贵阳中考)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(B) A．23 cm

B．43 cm

C．63 cm

D．83 cm 知识点4

点、直线和圆的位置关系

5．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(A)

A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F 6．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以点C为圆心，分别以5，52和8为半径作圆，那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是相离、相切、相交．

知识点5

切线的性质与判定

7．(湖州中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(B)

A．25°

B．40°

C．50°

D．65°

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．

(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．

解：(1)DE与⊙O相切，

理由：连接OD，

∵AO＝BO，BD＝DC，

∴OD是△BAC的中位线．

∴OD∥AC. 又∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD. ∴DE为⊙O的切线．

(2)∵AO＝3，∴AB＝6. 又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴AC＝6，AD＝33. 11∵S△ADC＝·AC·DE＝AD·DC，

22∴AC·DE＝CD·AD. ∴6·DE＝3×33，解得DE＝33. 2知识点6

切线长定理及三角形的内切圆

9．《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形(内切圆)的直径是多少？(C) A．4步

B．5步

C．6步

D．8步

10．如图，直线AB，CD，BC分别与⊙O相切于B，F，G，且AB∥CD.若OB＝6 cm，OC＝8 cm，则BE＋CG的长等于(D) A．13 cm

B．12 cm

C．11 cm

D．10 cm

知识点7

正多边形和圆

11．如图，等边△EFG内接于⊙O，其边长为26，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(C) 56A.6

B.

3

C．4

D．5

知识点8

弧长、扇形面积

12．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，︵则BD的长为(C) 3A．π

B.π

C．2π

D．3π

2

13．(怀化中考)如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为π－2．

1．连半径—构造等腰三角形(如图1)(如T8)

图1

图2

图3 2．过圆心作弦的垂线段—构造直角三角形(涉及弦长、半径或圆心到弦的距离(如图2))(如T16) 3．连接弦或半径—角度转化(通过同弧或等弧找到一些相等的角进行转化(如图3))(如T20) 4．见直径，连直角；遇直角，作直径(如图4)

图4

图5

图6

图7 5．遇切线，连半径，得垂直(如图5 )(如T10) 6．判定直线与圆相切：(1)连半径证垂直；(2)作垂直证半径(如图6，7 )(如T21)

02

山西中考题型演练

14．(山西中考百校联考三)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为(B) A．40°

B．50°

C．80 °

D．90°

15．(宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切

︵于D，E两点，则DE的长为(B) ππA.

B.

42C．π

D．2π

16．(西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(C)

A.15

B．25 C．215

D．8 17．(山西中考)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)

2π3A.－

322πB.－3 3C．π－3

2D．π－3 18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为22.5°．

19．(株洲中考)如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝80°．

20．(天津中考)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图1，求∠T和∠CDB的大小；

(2)如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

解：(1)连接AC，

∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，

∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°. ∵∠ABT＝50°，

∴∠T＝90°－∠ABT＝40°. 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，

∴∠CDB＝∠CAB＝40°. (2)连接AD，

在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，

∴∠BCE＝∠BEC＝65°. ∴∠BAD＝∠BCD＝65°. ∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD＝65°. ∵∠ADC＝∠ABC＝50°，

∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.

21．如图，AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE＝∠FEP，CF交⊙O于点D. (1)证明：FP是⊙O的切线；

(2)若四边形OBPD是菱形，证明：FD＝ED.

证明：(1)连接OP，

∵OP＝OA，

∴∠A＝∠APO. ∵EC⊥AB，

∴∠A＋∠AEC＝90°. ∵∠FPE＝∠FEP，∠FEP＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠FPE. ∴∠OPA＋∠FPA＝90°. ∴OP⊥PF. ∵OP为⊙O的半径，

∴FP是⊙O的切线．

(2)∵四边形OBPD是菱形，

∴PD∥AB，PB＝OB. ∵OB＝OP，

∴OP＝OB＝PB. ∴△OPB是等边三角形．

∴∠B＝∠BOP＝60°. ∴∠A＝30°. ∴∠AEC＝∠FEP＝60°. ∴∠FPE＝∠FEP＝60°. ∴△FPE是等边三角形．

∵PD∥AB，

∴PD⊥EF. ∴FD＝ED.

03

数学文化、核心素养专练

22．“割圆术”是求圆周率的一种算法，公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．请问上述著名数学家为(A) A．刘徽

B．祖冲之

C．杨辉

D．秦九昭

23．如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、a为半径画弧，求图中阴影面积．阴影部分是两个扇形(扇形正好是四分之一个圆)相交的部分，阴影的面积不能直接算，可用面积相减的方法求出，这体现了一种数学思想，该数学思想是(C)

A．整体思想

B．分类讨论思想

C．转化思想

D．数形结合思想

24．(山西一模)阅读与思考：

婆罗摩笈多(Brahmagupta)是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理．该定理的内容及部分证明过程如下：

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN＝DN.

证明：在△ABP和△BMP中，

∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP＋∠ABP＝90°，

∠BPM＋∠MBP＝90°. ∴∠BAP＝∠BPM. ∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，

∴……

(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分；

(2)已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.点D在⊙O上，∠BCD＝60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为1．

解：(1)证明：∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，

∴∠DPN＝∠PDN. ∴DN＝PN. 同理：CN＝PN. ∴CN＝DN. (2)∵∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，

∴∠ACD＝45°＋60°＝105°. 又∵∠D＝∠B＝30°，

∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝45°. ∴∠APC＝180°－45°－45°＝90°，

△APC是等腰直角三角形．

∴PA＝PC，∠CPD＝90°. 在△CPD和△APB中，

∠CPD＝∠APB，∠D＝∠B，

PC＝PA，∴△CPD≌△APB(AAS)．

∴CD＝AB＝2. ∵∠CPD＝90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，

∴同(1)得：CN＝DN. 1∴PN＝CD＝1. 2