2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系板书设计及设计说明

【教案】直线和平面的位置关系

教学目的：

（1）采用与两直线位置关系类比的方法，使学生掌握直线与平面位置关系及其初步的判定方法。

（2）加深对逻辑划分选取角度的理解，培养学生的逻辑思维能力。

（3）通过图象语言、文字语言、符号语言的互化训练，使学生初步了解立体几何的学习方法，培养空间想象能力。

教学过程：

一、引入新课

从这里我们可以看到考察的角度不同，分类有所区别。在立体几何学习中，我们往往从是否共面、有没有公共点去划分它们的位置关系。那么直线与平面的位置关系有哪几种呢？先观察教室里线面关系的实例，引导学生进行分类、归纳。

评

析：通过类比复习旧知识，引入新知识，类比是科学研究和发明创新的一种常用方法。

二、直线与平面的位置关系

1.

文字表述

①启发学生从是否有公共点的角度去考虑。

②按直线在不在平面内划分，提醒学生用词的准确性，类似但不完全相同。

在这里我们得到了直线与平面三种位置关系的定义。

2.

图象表示

注意：画图要直观，展示图7和图8。

3.符号语言

上述三种位置关系分别表示为：

符号语言是对文字语言的简单化和再次抽象，符号语言要合理、简洁、易用、相对规范。在这里点是基本元素，直线、平面是点的集合，符号要简洁，如上述a∩α=A而未用a∩α={A}表示。

评析：通过类比进一步加深对直线与直线、直线与平面位置关系的理解。同时也反映了立体几何的学科特

点，立体几何是平面几何的发展，一方面要从低维向高维前进，另一方面又要以低维为依托并常常将高维问题化归为低维问题来解决。

三、直线与平面三种位置关系的初步判定

例.已知四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，则

问①直线FG与平面BCD的位置关系为

。

结论1：直线在平面内的判定：根据公理一，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即直线在平面内。（学生口述符号语言）

问②直线HG与平面BCD的位置关系为

。

结论2：直线和平面相交的判定：如果一条直线分别经过平面内的一点和平面外的一点，那么这条直线和平面相交。（学生口述符号语言）

问③直线EH与平面BCD的位置关系为

。

结论3：直线与平面平行的判定（定义）：

如果平面外一条直线和这个平面无公共点，那么这条直线和这个平面平行。

（注：下一节课我们将学习一个更易操作的“直线与平面平行的判定定理”）

评析：1.一般定义都有判定功能，但用定义去判定往往比较麻烦，因此要寻找判定定理，即一种简捷的判定方法。

2.通过一个具体例子引入线面三种关系的判定，意在培养学生的直觉思维能力，同时使整个教学过程自然、流畅。

四、课堂练习

1．在立方体ABCD-A′B′C′D′中，E是棱DD′的中点，

①

判定直线BE与平面

A′B′C′D′的位置关系；

②判定直线BD′与平面A′EC′的位置关系；

（待学生回答相交后，问：如何作出它们的交点？②可作为课后思考题）

评

析：当直线通过平面同侧外的两点时，直线和平面的位置关系是平行还是相交应仔细分辨。当相交时，如何在给定的图形中作出线面交点又是一个难点，常转化成求作共面两直线的交点。

2.若平面α，直线a、b，点A、B

①已知a∥α，b α，则a与b的位置关系为

。

②已知a∩α=A，b α，则a与b的位置关系为

。

③已知a∥α，b∥α,则a与b的位置关系为

。

④已知a∩α=A，b∩α=B，则a与b的位置关系为

。

评

析：1.通过这一题的练习，使学生对线面三种位置关系的性质作了初步的思考。

2.正确使用数学语言，充分发挥图象语言、文字语言、符号语言的功能，培养空间想象能力，有两个不同方向的转化问题，由直观的图形到抽象的文字、符号，对于初学者是极其重要的第一认识过程，由这一过程的认识升华到由抽象的符号、文字返回直观图形的认识过程，只有这样，才能有效地培养学生的空间想象和逻辑推理能力。

五、小结

通过这节课的学习，我们掌握了直线和平面的三种位置关系及其初步的判定方法；了解了立体几何的特点和学习方法，能正确使用三种数学语言，充分发挥图象语言、文字语言、符号语言的功能，要熟悉它们之间的互相转化；这节课我们只对直线和平面的位置关系作了定性的研究，角度和距离是定量研究直线和平面位置关系的两个重要概念，下几节课我们将进一步研究。

六、作业

教材第21页习题三

1、2。