小结名师教学视频（文字实录）

《立体几何初步》复习与小结

一、教材分析及教材内容的定位：

联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生的空间想象能力．

二、教学目标：

1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识。

2.能熟练画出几何体的直观图或三视图。

3.能熟练地计算空间几何体的表面积和体积。

三、教学重点与难点

教学重点：

1.画出几何体的直观图或三视图。

2.计算空间几何体的表面积和体积。

教学难点：

通过展开图、截面图化空间为平面的方法．

四、教学过程：

（一）、问题情境

整理归纳本章的知识结构图．

（二）、学生活动

整理归纳本章的知识结构图，体会转化的思想方法，善于将空间问题转化为平面问题来处理．

1．几何体的概念、侧面积与体积

名称

定义

有两个面互相平多

面棱柱

体

行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

S侧＝ch，c为底面的周V＝Sh

长，h为高

图形

侧面积

体积

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有一个面是多边棱锥

形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

1S正棱锥侧＝2ch′，c为底面的周长，h′为斜高

1S正棱台侧＝(c21V＝Sh，h3为高

用一个平行于棱锥棱台

底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分

＋c′)h′，1V＝3(S上c′，c为上、＋S下＋下底面的周长，h′为斜高

S上S下)h，h为高

以矩形的一边所在圆柱

直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

以直角三角形的一条直角边所在直线为圆锥

旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋旋

转

体

用平行于圆锥底面圆台

的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分

以半圆的直径所在球

直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体

2.空间几何体的三视图与直观图

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S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高

S侧＝πrl，r1V＝为底面半径，3Sh＝h为高，l为

母线

123πrh

V＝Sh＝πr2h

转体

1V＝3(S上S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线

＋S下＋S上S下)h1＝3π(r21＋r22＋r1r2)h

S球面＝4πR2，R为球

的半径

V＝πR3

43

(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；

它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．

(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.

(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面

①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．

②等积变换，如三棱锥转移顶点等．

③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．

（三）1．菱形的直观图仍是菱形．(

×

) 2．正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(

×

) 3．多面体的表面积等于各个面的面积之和．(

√

) 4．简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(

√

) （四）典例分析

类型一

几何体的结构特征

例1

下列说法正确的是________．(填序号) ①棱柱的侧棱长都相等；

②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；

③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；

④棱台的侧面是等腰梯形．

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

①

解析

②不正确，例如六棱柱的相对侧面；

③不正确，如图；

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④不正确，侧棱长可能不相等．

反思与感悟

与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧

(1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

(2) 通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可．

跟踪训练1

根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．

(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的是________________________________________________________________________；

(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是________________________________________________________________________；

(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是________________________________________________________________________．

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

(1)正六棱柱

(2)圆台

(3)一个圆锥和一个圆柱的组合体

类型二

直观图与三视图

例2

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(

)

A．1

B.2

C.3

D．2 考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

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答案

C 解析

该四棱锥的直观图是如图所示的四棱锥V－ABCD，

其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1，

所以四棱锥中最长棱为VD，连接BD，由三视图可知BD＝2，在△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.故选C. 反思与感悟

(1)空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示．

(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

跟踪训练2

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为(

)

考点

简单组合体的三视图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图

答案

B 解析

由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上半部分的圆锥比下半部分的圆锥高，所以正视图应为B. 类型三

空间几何体的表面积和体积

例3

如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．

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考点

柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点

其他求体积、表面积问题

解

所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，

∵S锥表＝πR2＋πRl1＝4π＋8π＝12π，

S柱侧＝2πrl2＝2π·DG·FG＝23π，

∴所求几何体的表面积S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π.

1183由V圆锥＝3π·BD2×AD＝3π×22×23＝3π，

V圆柱＝π·HD2×EH＝π×12×3＝3π，

∴所求几何体的体积为

8 35 3V圆锥－V圆柱＝3π－3π＝3π.

反思与感悟

1.空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

五、达标检测

1．关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是(

) A．棱锥的侧棱长都相等

B．三棱台的上、下底面是相似三角形

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C．有的棱台的侧棱长都相等

D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构判断

答案

A 解析

根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．

2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

) A．圆柱

C．四面体

考点

旋转体的三视图

题点

圆柱的三视图

答案

A 3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(

) B．圆锥

D．三棱锥

9A.2π＋12

C．9π＋42

考点

三视图与直观图

题点

由三视图求几何体的表面积与体积

答案

B 43解析

由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝3π23＋9B.2π＋18 D．36π＋18 93×3×2＝2π＋18. 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) 第

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A．180

B．200

C．220

D．240 考点

柱体、锥体、台体的表面积

题点

柱体的表面积

答案

D 解析

由三视图可知该几何体是个四棱柱．棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯2＋8形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5.所以梯形的面积为2×4＝20，梯形的周长为2＋8＋2×5＝20.所以四棱柱的表面积为20×2＋20×10＝240. 5．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．

考点

柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点

其他求体积、表面积问题

1答案

24

解析

设三棱柱的高为h，

h∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为2，

1∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝S△ABC，

41h∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，

321S△·hV16ADE1∴V＝＝24. S△ABC·h2第

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六、本课小结

1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．

2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常是通过截面把空间问题转化为平面问题解决.

七、作业

复习参考题 1---8题

八、板书设计

略

九、教学反思

关于本节教学设计上的不足之处，我认为，可以让学生们课前预习，但是高中生由于课业繁忙，很容易忽视课前预习的重要性，教师应该积极引导他们，告知课前预习的必要性以及益处。这样既培养学生的自我思考能力，又加深其对知识的理解，还可调动其学习积极性，教学效果一定会更好。

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