3.4 生活中的优化问题举例教案设计

生活中的优化问题举例

一、教学目标

1．知识和技能目标

（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程和方法目标

（1）培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力；

3．情感态度和价值观目标

(1)进一步培养学生应用数学的意识。

二、教学重点.难点

教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

三、学情分析

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

四、教学方法

师生互动探究式教学

五、教学过程

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

1

优化问题

建立数学模型用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

知识应用，深化理解

一、面积、容积最大问题：

例1：将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段变为正方形，一段变为圆，问：如何截法使正方形与圆的面积之和为最小？

变式：将长为60cm的铁丝围成矩形，若使矩形的面积为最大，则长和宽各是多少？

例2.有一块边长为60cm的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的正方形，做成一个长方体的无盖容器，为使其容积最大，截下的正方形边长应为多？

变式：已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时，圆柱的高的值。

二、材料最省问题

例3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为 ，且用料最省，求圆柱的底面半径。

变式：做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为多少时用料最省？

三、利润最大问题

例4．某厂生产某种产品的固定成本为2500元，已知每生产x件这样的产品需要增加可变成13c(x)200xx，若生产出的每件产品都能以每件500元出售，要使利润最大，该厂应生产本 36多少件这种产品？最大利润是多少？ 七、当堂检测

1.某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？

分析：设所印文字区域的左右长为x cm，确定纸张的长与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得结论．

设所印文字区域的左右长为x

cm，则上下长为所以纸张的左右长为(x+2)cm，上下长为(150

cm，

x150+3)cm，

x150300+3)=3x+所以纸张的面积S=(x+2)( +156．

xx300所以S′=32，令S′=0解得x=10．

x

2

当x＞10时，S单调递增；当0＜x＜10时，S单调递减．

2所以当x=10时，S=216(cm)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm．

min故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约．

2.一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x，故有

2150x4500×30＋×40，y′＝－2＋20，

x2x9000令y′＝0，得x

＝15，且y″＝3，f″(15)＞0，

xy

＝所以当x

＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故

当x

＝15时，y取得最小值，此时进货次数为150＝10（次）．

15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。

六、课堂小结

1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

七、课时练与测

八、教学反思

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