探究与发现 为什么截口曲线是椭圆获奖说课稿

为什么截口曲线是椭圆

一、教学内容解析：

本节课是人教版选修2-1第二章第2.2节《椭圆》后的“探究与发现”的内容，圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，也是高考考查的重点，本节课介绍的是椭圆由来的背景，很多学生只是知道椭圆、双曲线、抛物线这一章节叫做圆锥曲线，却没有从真正意义上去了解为什么它们叫圆锥曲线。数学家旦德林利用双球模型巧妙地找到椭圆焦点，并根据椭圆定义证明出截口曲线是椭圆。这种巧妙地思维本身就很值得借鉴、学习，高考在这一块也有涉及。历年高考及各种习题中屡次出现考察立体几何与平面几何交汇的题型，其实质考察的就是对圆锥曲线的认识。这节课就是通过一系列的探究与实物直观演示椭圆的形成过程，让学生直观感知圆锥曲线的意义。

二、教学目标：

1.了解椭圆的截面定义，理解用平面写截圆锥（柱）得到的封闭借口曲线是椭圆。

2.探索完成旦德林双球模型的猜想、证明过程，通过猜想类比归纳解决平面与圆柱的截口曲线问题。

3.

通过实物及GGB软件动态演示直观教学，激发学习数学的兴趣，活跃课堂教学氛围，培养探究发现创新的精神。

三、学生学情分析：

对于高二的学生，对椭圆的定义已有一定的理解，会判断一条曲线是不是椭圆。但是教材并未介绍椭圆的由来，学生对于椭圆形成史知之甚少，因此本节课很有必要。

四、教学策略分析：

由于本节课内容较为抽象，难以理解，如果离开感性认识，学习容易陷入困境，学生产生畏难情绪。在教学中，我先通过古希腊人的生活经历自然引入椭圆，在通过现代生活生活中的椭圆实例引入椭圆。激发学生兴趣，再通过实物演示、还原数学家旦德林发现证明的现场，小组讨论，多媒体展示，等多种教学手段，有意识地引导学生探究发现。旦德林双球模型圆锥的问题相对复杂一点，我采取教授与引导相结合的方法帮助学生理解模型的思路，并引导学生证明截口曲线是椭圆。对于斜面截圆柱的模型，由于有前面圆锥模型作为类比，而且圆柱模型本身也相对简单，我放手让学生自主探究，通过自己动手实践，更加清洗地理解模型的意义。

五、教学重点：使学生正确理解圆锥与圆柱的截口曲线是椭圆

教学难点：旦德林双球证法的理解、利用所得的结论解决相关问题

六、教学过程

（一）情境体验：

首先，介绍希腊人通过削尖的圆木桩发现了一条像圆又不是圆的曲线，引入椭圆，联想斜面圆柱的截口曲线。接下来介绍现代生活中的一些椭圆现象请同学们观察生活中的几组现象.（手电筒照射小球、建筑物、圆柱锥形水杯倾斜时水面的形状）

设计意图：数学源于生活，两个实例一古一今，相得益彰。从身边常见的现象出发不仅使学生感觉亲切，更能激发学生探究的兴趣。

情景一：用手电筒照射小球，影子的形状可以是什么？

学生演示后发现，影子的形状可以圆，椭圆（影子曲线封闭时）或其他曲线。

情景二：用杯子喝水，问学生杯子的形状。

把杯子看成是一个圆柱体，水面看成是一个平面去截这个圆柱，我们把截面与圆柱侧面的交

线叫做截口曲线。

问题一：什么时候截口曲线是圆？（学生：截面与圆柱底面平行的时候。）

问题二：不平行的时候大家猜想是椭圆，那你有办法证明吗？椭圆的定义是什么？

MF1MF2定值FF12

问题三：如果要证明它的确是椭圆，那么我们需要找到什么确定的元素？

1.两个定点F1、F2

2.定值

（二）动态直观演示：

历史上很多人对这个问题进行过研究，其中数学家旦德林的方法非常巧妙，旦德林用两个大小不同的球分别与圆锥和平面都相切。

请大家思考：没有球截口曲线不也存在吗？两个球的作用是什么？

动画演示：

（2）

（1）

（3）

猜想：

（1）当截面与平面平行时，截口曲线是

圆

（2）当截面与平面不平行时，截口曲线是

椭圆

（3）两个球的作用是

找出焦点

设计意图：动态直观演示，目的有二

1.

直观感知，化抽象为直观，降低难度；

2.

动态演示，增强趣味性，提高学习兴趣。

问题四：如何直观证明你的猜想？

生1：对于（1），在曲线上找一动点P,连接OP，OP长度等于定值2.26，所以截口曲线是圆。

师：很好，按照这个思路，接下来我们怎么直观证明（2）的截口曲线是椭圆？

生2：由（3），在曲线上找一动点O,连接OM和ON，度量OM和ON的长度，并计算OM+ON，发现当点O运动时，OM和ON的长度也随之改变，但是OM+ON是定值4.02，根据椭圆定义，得出截口曲线是椭圆。

师：很好，通过动态模型软件操作演示，我们不得不承认截口曲线是椭圆。

（三）定性证明：

思考：

1.过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等吗？为什么？

2.类比圆，过球外一点作球的两条切线，切线长相等吗？为什么？

3.若两个球球心和半径固定了，那么它们的任意两条外公切线相等吗？为什么？

（类比）

证明：由题意OP=ON，

同理可得：OQ=OM，

所以OM+ON=OP+OQ=PQ 所以点O的轨迹是椭圆。

（四）定量检验：

师：（1）过圆锥顶点B和曲线上动点O作圆锥母线BO，过两个球分别作母线BO的垂线，与母线分别交于R、Q。

（2）度量OQ、OR、RQ的距离，你有什么发现？

（3）改变截面的倾斜程度，你有什么发现？

（4）为了更直观地观察，我们可以创建截口曲线的平面图形。

（五）类比圆锥，探究圆柱截口曲线：

师：类比圆锥，请大家自主探究圆柱截口曲线的情况，并自主探究、操作演示。

设计意图：

1.由于前面有圆锥动态直观演示为学生提供类比对象，在这里学生对知识理解、操作并不困难，学生自主探究是可行的。

2.通过自己动手操作，提高了数学课堂的趣味性和可操作性，有利于学生直观理解知识的生成过程。

师：小结：

（1）用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截口曲线是圆，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，形成的封闭截口曲线是椭圆。

（2）用一个平行于圆柱底面的平面截圆锥，截口曲线是圆，用不平行于圆柱底面的平面截圆锥，形成的封闭截口曲线是椭圆。

（六）知识应用：

B例1：（2008浙江理科）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积是定值，则动点P的轨迹是（

）

AA.圆

B.椭圆

C.一条直线

D.两条平行线

Pα解析：根据题意，AB是定值，ABP的面积是定值，则P到AB的距离为定值，易得AP构成以AB为轴线的圆锥（柱）侧面，P点的轨迹是此圆柱侧面与平面的交线，所以选椭圆。动态演示图如下。

（七）课堂小结：

1.知识方面

（1）用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截口曲线是圆，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，形成的封闭截口曲线是椭圆。

（2）用一个平行于圆柱底面的平面截圆锥，截口曲线是圆，用不平行于圆柱底面的平面截圆锥，形成的封闭截口曲线是椭圆。

2.思想方法方面

旦德林双球模型 化空间想象为几何直观 空间平面类比转化

（八）课后作业：

（2015浙江文科）如图一，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是（

）

A.直线

B.抛物线

C.椭圆

D.双曲线的一支

A30°Bα

图一

P