3.1.3 空间向量的数量积运算ppt配套的板书设计及意图

空间向量的数量积运算

龙口第一中学东校 张正然

教学目标

知识与技能

1.

掌握空间向量夹角的概念及表示方法

2.

掌握两个空间向量的数量积的概念和性质以及计算方法和运算律。

3.

掌握两个空间向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

过程与方法

1.

运用类比方法，体会向量的数量及运算由平面向空间转化的过程。

2.

引导学生借助空间几何体理解空间向量的数量积运算

情感态度与价值观

1.

培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、合作自学能力。

2.

培养学生空间向量的应用意识

重点难点

教学重点：

1.

空间向量的数量积运算及其运算律，几何意义

2.

空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用

教学难点：

用向量的方法解决立体几何中的垂直、距离、夹角等问题

解决方法：

1.

深化理解空间向量的数量积的概念

2.

互助探究，增强合作意识

教学过程：

一、新课导入

回顾平面向量的数量积运算，通过提问的方式回忆知识

平面向量的数量积运算：

1）

两个向量的夹角的定义：

如图，已知平面两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b.

(1)规定：0a,b

（2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a,b=b,a

（3）a,b=0时，a与b同向；a,b=时，a与b反向

（4）如果a,b=，则称a与b垂直，记为ab

2 2）数量积公式：ab=abcos a,b

三个重要性质：

（1）a=a即a=a（求线段的长度）

（2）abab=0（垂直的判断）

（3）cos a,b=222abab（求角度）

二、新课讲授

类似地，我们可以定义空间向量的数量积运算：

1）

两个空间向量的夹角的定义：

如图，已知空间两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b.

（1）规定：0a,b

（2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a,b=b,a

（3）a,b=0时，a与b同向；a,b=时，a与b反向

（4）如果a,b=，则称a与b垂直，记为ab 22）数量积公式：ab=abcos a,b

三个重要性质：

（1）a=a即a=a（求线段的长度）

（2）abab=0（垂直的判断）

（3）cos a,b=222abab（求角度）

以上结论说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题

3）空间向量的数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度与b在a方向上的投影bcos a,b的乘积。

4）空间向量的数量积的运算律

（1）（a）b=（ab）

（2）ab=ba（交换律）

（3）（a+b）c=ac+bc（分配律）

5）应用

（一）垂直

例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图，PO、PA分别是平面垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，且OA ，求证：PA 分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可。

证明：在直线上取向量a，只要证aPA=0=aPO+aOA=0aPA，即PA 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

引申思考：逆命题成立吗？

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

已知：如图，PO、PA分别是平面垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，且PA ，求证：OA 分析：同样可用向量，证明思路几乎一样，只不过其中的加法运算改成减法运算来分析。

例2 （试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理）

已知，直线m,n是平面内的两条相交直线，如果m,n,求证：aPO=0aPA=a（PO+OA）

分析：要证明一条直线与一个平面垂直，由直线与平面垂直的定义可知，就要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。

取已知平面内的任一条直线g，拿相关直线的方向向量来分析，看条件可以转化为向量的什么条件？要证的目标可以转化为向量的什么目标？怎样建立向量的条件与向量的目标的联系。

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g,在，m,n,g上取非零向量l，m，n，g，因m与n相交，故向量m，n不平行，由共面向量基本定理，存在唯一实数对（x,y）,使g=xm+yn,lg=xlm+yln,lm=0, ln=0lg=0,即lg。

g,即垂直于平面内的任一直线，

（二）长度

例3 已知空间向量a，b满足a=1，b=2，ab=3，则ab=____________。

法一：发现ab+ab=2（a+b）代入求得

法二：由ab=a-2ab+b代入求得ab=-2ab=a+2ab+b得ab=1 法三：数形结合法，发现形的特殊性。

（三）夹角

例4 如图，在空间四边形ABCD中，AB=2，BC=3，BD=23，CD=3，ABD30，ABC60，002222222222

求AB与CD的夹角的余弦值。解

：C,A=ABBDCOSAB,BD-DABBCCOSAB,BC=223COS150023COS1200=-6+3=-3  cos AB,CD=ABCDABCD=311=AB与CD的夹角的余弦值为

232200 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如AB,BD=150而不是30（六）小结：

通过学习，体会到我们可以利用向量的数量积解决立体几何中的以下问题：

1、

证明两直线垂直，线面垂直；

2、

求两点之间的距离或线段长度；

3、

求两直线所成角的余弦值等等。

（七）练习巩固：

1.设a,b,c是任意的非零空间向量，且互相不共线，则：

①abccab0

②abab

③bcacab不与c垂直

④3a2b3a2b9a4b中，真命题是（ ）

A ①

② B②

③ C ③

④ D②④

22

2.已知空间向量a，b满足a1,b2,ab5,则ab______________. 3.已知在空间四面体ABCD中，AB=AC，DB=DC，求证ADBC

4.如图，在空间四边形ABCD中，AB=2，BC=3，BD=23，CD=3，ABD30，ABC60，求BC与AD的夹角的余弦值。

00

（八）作业：课本P107 B组第一题