3.1直线的倾斜角与斜率（通用）公开课教案

3．1直线的倾斜角与斜率

3．1.1

倾斜角与斜率

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．

(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2．过程与方法

(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．

(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．

(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．

3．情感、态度与价值观

(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

●重点难点

重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．

难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．

重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．

●教学建议

鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？⇒引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线位置的几何要素.⇒通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.

⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点) 课标解读

2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)

【问题导思】

1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？

【提示】

不能．

2．在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？

直线的倾斜角

【提示】

不同．

1．倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．

【问题导思】

如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．

直线的斜率与倾斜角的关系

1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？

32【提示】

不同，因为≠. 222．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？

【提示】

存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 2．斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角

(范围)

斜率

(范围)

(x1≠x2).直线过两点过两点的直线的斜率公式

k＝y2－y1x2－x1α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

0

k>0

不存在

k<0

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率

直线的倾斜角的理解

设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°

【思路探究】

画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．

【自主解答】

根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】

D

1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(

) A．α

B．180°－α

C．180°－α或90°－α

D．90°＋α或90°－α

【解析】

如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.

【答案】

D

求直线的斜率

求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．

(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；

(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．

【思路探究】

依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．

3－0【自主解答】

(1)直线的斜率k＝＝3＝tan 60°，

－2－－3此直线的斜率为3，倾斜角为60°. －2＋2(2)直线的斜率k＝＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°. 5－19－4(3)直线的斜率k＝＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°. －2－3(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求直线AB斜率和倾斜角的步骤：

(1)当x1＝x2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；

y2－y1(2)当x1≠x2时，直线的斜率k＝，倾斜角α利用k＝tan α求得．

x2－x1

已知直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值．

【解】

由直线l的倾斜角为45°，可知直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

又直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，

4－m故k＝. m＋2由

斜率与倾斜角的应用

4－m＝1得m＝1. m＋2

已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．

【思路探究】

直线l的倾斜角已知可以求出其斜率且P1、P2、P3均在直线l上，故任两点的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值．

【自主解答】

∵α＝45°，

∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

∵P1，P2，P3都在直线l上，

∴kP1P2＝kP2P3＝k. ∴5－y11－5＝＝1，

x2－23－x2解之得：x2＝7，y1＝0.

用斜率公式可解决三点共线问题：

如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．

【解】

kAB＝m－11－m8－17＝，kAC＝＝. 4－2－26－241－m7＝，

44＝－∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC.即∴6.m

因忽略直线斜率不存在的情况致误

求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

3－21【错解】

由斜率公式可得k＝＝. m－1m－11①当m>1时，k＝>0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. 1②当m<1时，k＝<0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【错因分析】

在上述解题过程中遗漏了m＝1的情况，当m＝1时，斜率不存在．

y2－y1【防范措施】

斜率公式k＝的适用前提条件为x1≠x2，因此在含字母的点的坐x2－x1标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．

【正解】

当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 3－21当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. m－1m－11①当m>1时，k＝>0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. 1②当m<1时，k＝<0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．

2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．

y2－y13．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：

x2－x1(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．

(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂在直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存.

1．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(

)

图3－1－1 A．①

B．①②

C．①③

D．②④

【解析】

结合直线l的倾斜角的概念可知①③可以，选C. 【答案】

C 2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(

) A.33

B.3

C．1

D.22

【解析】

由题意可知，k＝tan 30°＝33. 【答案】

A 3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．

【解析】

直线AB的斜率k＝4－31－1－2＝－3. 【答案】

－13

4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．【解】

∵A、B、C三点共线，且3≠－2，

∴BC的斜率存在，∴AB的斜率存在，且kAB＝kBC，

∵k7－25－9a－79a＋7AB＝3－a＝3－a，kBC＝－2－3＝5，

∴593－a＝a＋75，

∴25＝27a＋21－9a2－7a，

即9a2－20a＋4＝0，

解得a＝2或a

＝

29.

一、选择题

图3－1－2 1．如图3－1－2，直线l的倾斜角为(

) A．45°

B．135°

C．0°

D．不存在

【解析】

由图可知，直线l的倾斜角为45°＋90°＝135°. 【答案】

B 2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(

) A．45°，1

B．135°，－1 C．90°，不存在

D．180°，不存在

【解析】

由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C. 【答案】

C 3．(2013·周口高一检测)过点M(－3，2)、N(－2，3)的直线的斜率是(

) A．1

B．－1

C．2

D.3

23－2【解析】

过点M、N的直线的斜率k＝＝－1. －2＋3【答案】

B 4．若图3－1－3中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有(

)

图3－1－3 A．k1

B．k2

C．k1

D．k2

【解析】

设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0

C 5．下列各组中的三点共线的是(

) A．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) 1C．(1,0)，(0，－)，(7,2) 3D．(0,0)，(2,4)，(－1,3) 4－25－2【解析】

对于A，∵≠，故三点不共线；

1－－13＋－16－－53－6对于B，∵≠，故三点不共线；

7－－2－5－711－－02－－33对于C，∵＝，故三点共线；

70－14－03－0对于D，∵≠，故三点不共线．

2－0－1－0【答案】

C 二、填空题

6．斜率的绝对值等于3的直线的倾斜角为________．

【解析】

设直线的倾斜角为α，由题意可知tan α＝±3，∴α＝60°或120°. 【答案】

60°或120°

7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．

【解析】

由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设

0－2n－2P( m,0)，则＝－1，若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得m＝n＝3，m－10－1故P点坐标为(3,0)或(0,3)．

【答案】

(3,0)或(0,3) 8．在下列叙述中：

①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α；

②若直线斜率k＝－1，则它的倾斜角为135°；

③若A(1，－3)、B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；

④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；

3⑤若直线的斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．

4

所有正确命题的序号是________．

【解析】

①当α＝90°时，斜率k不存在，故错误；

②当倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故正确；

③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；

4－2④直线过定点(1,2)，斜率为1，又＝1，

3－1所以直线必过(3,4)，故④正确；

3⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误．

4【答案】

②③④

三、解答题

9．如图3－1－4所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率．

图3－1－4 【解】

l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，

∴l2的斜率为k2＝tan 120°＝－tan 60°＝－3. 10．在同一坐标系下，画出满足下列条件的直线：

(1)直线l1过原点，斜率为1；

2(2)直线l2过点(3,0)，斜率为－；

32(3)直线l3过点(－3,0)，斜率为－；

32(4)直线l4过点(－3,0)，斜率为. 3y1－0【解】

(1)设A(x1，y1)是直线l1上一点，根据斜率公式有1＝，即x1＝y1，令x1x1－0＝y1＝1，则直线l1过原点及点A(1,1)两点．

20－y22(2)同理，设B(x2，y2)是直线l2上一点，则－＝，即y2＝2－x2，令x2＝0，得y233－x23＝2，所以直线l2过点(3,0)及点B(0,2)．

(3)同理可知，直线l3过点(－3,0)及(0，－2)．

(4)同理可知，直线l4过点(－3,0)及(0,2)．

四条直线的图象如图所示．

3. 3

11．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)，

(1)求直线AB和AC的斜率．

(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围．

【解】

(1)由斜率公式得

kAB＝1－13＋1－1＝0.kBC＝＝3. 1－－12－13＋1－13＝. 32－－1kAC＝(2)如图所示．

设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到3kCB，所以k的取值范围为[，3].

3

过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

斜率公式斜率定义y2－【思路探究】

画图k＝――→y1倾斜角α的取值范围k＝――→α斜率k的取值范围

tan x2－x1【自主解答】

如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值，

0－－3∵tan α1＝＝1，

3－0∴α1＝45°. (2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，

1－－3∵tan α2＝＝－1，

－4－0∴α2＝135°. 所以直线l倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l的斜率不存在；

当45°≤α<90°时，直线l的斜率k＝tan α≥1；

当90°<α≤135°时，直线l的斜率k＝tan α≤－1. 所以直线l的斜率k的取值范围是

(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

1．直线l过点M，斜率变化时，可以理解为直线l绕定点M旋转，使直线l与线段AB的公共点P从端点A运动到端点B，直线l的倾斜角就由最小值α1变到最大值α2.这是数形结合的思想方法．

2．当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．

已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)、B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．

【解】

根据题中的条件可画出图形，如图所示：

3又可得直线PA的斜率kPA＝－，

24直线PB的斜率kPB＝，

3结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，

4故斜率的取值范围为[，＋∞)；

3当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角．故3斜率的变化范围是(－∞，－]，

234综上可知，直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

23