3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标

3.1.2

空间向量的数乘运算

学习目标

1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.

知识点一

空间向量的数乘运算

思考

实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？

答案

λ>0时，λa和a方向相同；λ<0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，

②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 梳理

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝(λμ)a；

②λ(a＋b)＝λa＋λb；

③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展). 知识点二

共线向量与共面向量

思考1

回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义. 答案

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 思考2

空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？

答案

正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量. 梳理

(1)平行(共线)向量

定义

充要条件

点P在直线l表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使a＝λb

→→存在实数t满足等式OP＝OA＋ta，

向量a为直线l的方向向量

上的充要条件

→→→→在直线l上取向量AB＝a，则OP＝OA＋tAB

(2)共面向量

定义

三个向量共面的充要条件

点P位于平面ABC内的充要条件

平行于同一个平面的向量

向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

→→→存在有序实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC

→→→→对空间任一点O，有OP＝OA＋xAB＋yAC

类型一

向量共线问题

→→例1

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线→2→A1C上，且A1F＝FC. 3

求证：E，F，B三点共线. →→→证明

设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. →→→2→∵A1E＝2ED1，A1F＝FC，

3→2―→→2→∴A1E＝A1D1，A1F＝A1C. 352→→→222→2→2→2→→∴A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c. 33555552422→→→2a－b－c. ∴EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝51555322→→→→又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，

33

→2→∴EF＝EB.∴E，F，B三点共线. 5反思与感悟

判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线. 跟踪训练1

如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断→→→向量EF与AD＋BC是否共线？

解

设AC中点为G，连接EG，FG，

→1→→1→∴GF＝AD，EG＝BC，

22

→→→又∵GF，EG，EF共面，

→→→1→1→1→→∴EF＝EG＋GF＝BC＋AD＝(AD＋BC)，

222→→→∴EF与

AD＋BC共线. 类型二

空间向量的数乘运算及应用

→→→例2

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1. 1→→→→→1→解

(1)AP＝AD1＋D1P＝(AA1＋AD)＋AB＝a＋c＋b. 221→→→→→1→(2)A1N＝A1A＋AN＝－AA1＋AB＋AD＝－a＋b＋c. 22→→→→→→→(3)MP＋NC1＝(MA1＋A1D1＋D1P)＋(NC＋CC1)

1→→1→1→→＝AA1＋AD＋AB＋AD＋AA1

2223→3→1→313＝AA1＋AD＋AB＝a＋b＋c. 222222引申探究

C1P1若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如PD12→何表示AP？

2→→→→→2→解

AP＝AD1＋D1P＝AA1＋AD＋AB＝a＋c＋b. 33反思与感悟

利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 跟踪训练2

如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在→→→→MN上，且MG＝2GN，如图所示，记OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量a，b，c表示向量OG.

1→→→→2→1→2→→→121解

OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(MO＋OC＋CN)＝a＋[－a＋c＋(b－c)] 3232322111＝a＋b＋c. 633类型三

空间向量共面问题

例3

如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，OEOFOGOH在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，HOAOBOCOD四点共面.

OEOFOGOH证明

因为＝＝＝＝k，

OAOBOCOD→→→→所以OE＝kOA，OF＝kOB，

→→→→OG＝kOC，OH＝kOD. 由于四边形ABCD是平行四边形，

→→→所以AC＝AB＋AD.

→→→→→→→→→→→→因此EG＝OG－OE＝kOC－kOA＝kAC＝k(AB＋AD)＝k(OB－OA＋OD－OA) →→→→→→＝OF－OE＋OH－OE＝EF＋EH. 由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面. 反思与感悟

(1)利用四点共面求参数

向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法

①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. →→→→②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. ③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行. →1→1→1→跟踪训练3

(1)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足OM＝OA＋OB＋OC，333→→→判断MA，MB，MC三个向量是否共面. →→→解

MA，MB，MC三个向量共面. →1→1→1→因为OM＝OA＋OB＋OC，

333→→→→所以3OM＝OA＋OB＋OC，

→→→→→→化简，得(OA－OM)＋(OB－OM)＋(OC－OM)＝0，

→→→→→→即MA＋MB＋MC＝0，即MA＝－MB－MC，

→→→故MA，MB，MC共面. →→→→→(2)如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且OE＝kOA，OF＝kOB，OH→→→→→→→＝kOD，AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF.

求证：①A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

→→→→

②AC∥EG；③OG＝kOC. →→→证明

①∵AC＝AD＋mAB，∴A、B、C、D四点共面. →→→∵EG＝EH＋mEF，∴E、F、G、H四点共面. →→→→→→→②∵EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE) →→→→＝k(OD－OA)＋km(OB－OA) →→→→→→→＝kAD＋kmAB＝k(AD＋mAB)＝kAC，∴AC∥EG. →→→→→→→→③OG＝OE＋EG＝kOA＋kAC＝k(OA＋AC)＝kOC.

1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(

) A.共面向量

C.不共面向量

答案

A 解析

∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b与a，b共面. 2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上→→→→→→→→→→的点，若AE＝λAB，AF＝λAD，CM＝μCB，CN＝μCD，则向量EF与MN满足的关系为(

) →→→→→→→→A.EF＝MN

B.EF∥MN

C.|EF|＝|MN|

D.|EF|≠|MN| 答案

B →→→→→→→→→→→解析

AE－AF＝λAB－λAD＝λDB，即FE＝λDB.同理NM＝μDB.因为μDB∥λDB，

→→→→→→所以FE∥NM，即EF∥MN.又λ与μ不一定相等，故|MN|不一定等于|EF|. →→→3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________. 答案

－8 →→→→解析

∵BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，

→→又A、B、D三点共线，由共线向量定理得AB＝λBD，

1－4∴＝.∴k＝－8. 2k4.以下命题：

①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；

B.共线向量

D.既不共线也不共面的向量

②共线的两个向量互相平行；

③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；

④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是________. 答案

②④

解析

根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确. 5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面. →→→→(1)OB＋OM＝3OP－OA；

→→→→(2)OP＝4OA－OB－OM. →→→→→→→→→解

方法一

(1)原式可变形为OP＝OM＋(OA－OP)＋(OB－OP)＝OM＋PA＋PB. 由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面. →→→→→→→→→(2)原式为OP＝2OA＋OA－OB＋OA－OM＝2OA＋BA＋MA. →→→→由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是OP＝OA＋xBA＋yMA. →→→→而OP＝2OA＋BA＋MA，∴点P与点A，B，M不共面. →→→→方法二

(1)原式可变形为OB＝3OP－OA－OM. ∵3＋(－1)＋(－1)＝1，∴点B与点P，A，M共面，

即点P与点A，B，M共面. →→→→(2)原式为OP＝4OA－OB－OM. ∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴点P与点A，B，M不共面.

→→→→1.四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1. →→→→2.OP＝OA＋xAB＋yAC称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定. →→→→3.证明(或判断)三点A、B、C共线时，只需证明存在实数λ，使AB＝λBC(或AB＝λAC)即可，→→→也可用“对空间任意一点O，有OC＝tOA＋(1－t)OB”来证明三点A、B、C共线. →→→4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.

40分钟课时作业

一、选择题

1.给出下列几个命题：

①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；

②零向量的方向是任意的；

③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为(

) A.0

B.1

C.2

D.3 答案

B 解析

①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；

②真命题.这是关于零向量的方向的规定；

③假命题.当b＝0时，则有无数多个λ使之成立. →→→→2.设点M是△ABC的重心，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a＋b＋c＝0，则AM等于(

) b－cc－bb－cc－bA.

B.

C.

D.

2233答案

D 解析

设D是BC边的中点，

∵M是△ABC的重心，

→2→→1→→1∴AM＝AD.而AD＝(AB＋AC)＝(c－b)，

322→1∴AM＝(c－b). 3→→→3.设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则(

) A.点P一定在直线AB上

B.点P一定不在直线AB上

C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

→→D.AB与AP的方向一定相同

答案

A →→→→→→→→→解析

已知m＋n＝1，则m＝1－n，OP＝(1－n)OA＋nOB＝OA－nOA＋nOB⇒OP－OA＝n(OB→→→→→→－OA)⇒AP＝nAB.因为AB≠0，所以AP和AB共线，即点A，P，B共线.故选A. →→→→4.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则(

) A.O，A，B，C四点共面

B.P，A，B，C四点共面

C.O，P，B，C四点共面

D.O，P，A，B，C五点共面

答案

B →→→→解析

由6OP＝OA＋2OB＋3OC，

→→→→→→得OP－OA＝2(OB－OP)＋3(OC－OP)，

→→→即AP＝2PB＋3PC，

→→→∴AP，PB，PC共面，

又它们有公共点P，

∴P，A，B，C四点共面.故选B. →→1→1→5.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为33(

) 1A.1

B.0

C.3

D.

3答案

D →→1→1→解析

∵OM＝xOA＋OB＋OC，

33且M，A，B，C四点共面，

111∴x＋＋＝1，∴x＝.故选D. 333→→→6.已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是(

) A.A、B、D

B.A、B、C

C.B、C、D

D.A、C、D

答案

A →→→→→→解析

∵AB＝a＋2b，BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2(a＋2b)，∴AB∥BD，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线. →3→1→1→7. 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P、A、B、488C四点(

) A.不共面

B.共面

C.不一定共面

D.无法判断是否共面

答案

B →3→1→1→3→1→→1→→→1→1→解析

OP＝OA＋OB＋OC＝OA＋(OA＋AB)＋(OA＋AC)＝OA＋AB＋AC，

48848888→→1→1→→1→1→∴OP－OA＝AB＋AC，∴AP＝AB＋AC. 8888

由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面. 二、填空题

→1→2→→8.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确定的一53点P与A，B，C三点共面，则λ＝________. 答案

2

1512解析

由P，A，B，C四点共面可知：＋＋λ＝1，

532故λ＝. 15→1→3→→9.在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB＋BC－DE－AD化简的22结果为________. 答案

0

→1→→3→→→→→解析

延长DE交边BC于点F，则AB＋BC＝AF，DE＋AD＝AD＋DF＝AF，

22

→1→3→→→→故AB＋BC－DE－AD＝AF－AF＝0. 22→→10.已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2x·BO→→＋3y·CO＋4z·DO，则2x＋3y＋4z＝________. 答案

－1 →→→→解析

OA＝(－2x)·OB＋(－3y)·OC＋(－4z)·OD，由A、B、C、D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1. 三、解答题

→→→→11.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，当OP＝2OA－OB－OC时，点P是否与A、B、C共面？并给出证明. 解

点P与A、B、C三点不共面，证明如下：

→→→若点P与A、B、C共面，则存在惟一的实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC，于是对平面ABC→→→→→→外一点O，有OP－OA＝x(OB－OA)＋y(OC－OA)，

→→→→∴OP＝(1－x－y)OA＋xOB＋yOC，

1－x－y＝2，比较原式得x＝－1，y＝－1，共面.

此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A、B、C、P四点不12.已知点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)证明：E，F，G，H四点共面；

(2)证明：BD∥平面EFGH. 证明

如图，连接EG，BG.

→→→→1→→→→→→→(1)EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD

)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，

2由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面. →→→1→1→1→(2)方法一

∵EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD，∴EH∥BD. 222又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

∴BD∥平面EFGH. →→→→→→→→→→方法二

∵BD＝BA＋AD＝2EA＋2AH＝2EH＝2(EG＋GH)＝2EG＋2GH，

→→→→→又EG，GH不共线，∴BD与EG，GH共面. 又BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH. →→→13.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C，OD，OC1是共面向量.

→证明

设C1B1＝a，

―→―→C1D1＝b，C1C＝c，

→∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴B1C＝c－a，

又O是B1D1的中点，

→1∴C1O＝(a＋b)，

21→∴OC1＝－(a＋b)，

211→―→→OD1＝C1D1－C1O＝b－(a＋b)＝(b－a). 22→→→∵D1D綊C1C，所以D1D＝c，

→→→1∴OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c. 2→→→若存在实数x、y，使B1C＝xOD＋yOC1

(x，y∈R)成立，

1111则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)]＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc. 2222x＋y＝1，2∵a、b、c不共线，∴1x－y＝0，2x＝1，→→→∴B1C＝OD＋OC1，

→→→∴B1C，OD，OC1是共面向量. 1

x＝1，得

y＝1.